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物理学演習Ｂ　（第７回） １９９１年６月１８日 (飯高） １次元ポテンシャル問題 ［２］調和振動子

（入門編：べき級数展開）

質量mの粒子がばね定数の バネに束縛されているとき、以下の問に答えよ。

1. 時間に依存しないShrödinger方程式を 位置座標表示の波動関数をもちいて書け。

2. での波動関数の漸近形を求めよ。

3. 無次元の変数

   

   を使って、方程式をつぎの形に変形せよ。

   

4. と置くと、に対する 微分方程式が

   

   となることを示せ。ただし、N は規格化定数である。

5. とおいて、係数が満たすべき漸化式が、

    

   となることを示せ。 このとき、は、k が偶数のときのみ零でない。

6. k=0 のときの式(5) から、s= 0、 またはs=1 となることを示せ。

7. が、けして0 にならないとすると、

   

   となり、

   

   となるので境界条件を満たさないことを示せ。

8. したがって、境界条件を満たすためには、漸化式(5) において

   

   となる偶数K が存在する必要がある。このことを用いて

   

   (nは整数) となることを証明せよ。また、エネルギ−固有値を求めよ。

9. n=0,1,2 にたいする、 および 規格化されたエネルギ−固有関数 を求めよ。

（上級編：生成消滅演算子）

1. 消滅演算子と 生成演算子と呼ばれる無次元の演算子を定義する。

   

   交換関係を求めよ。

2. 位置x,運動量p を生成消滅演算子を用いて表せ。

3. ハミルトニアンH を 数演算子 を用いて表せ。 また、Nがエルミート演算子であることを示せ。

4. 交換関係, を求めよ。

5. 演算子N の固有ケットを とするとき、

   

   を証明せよ。

6. 規格化された固有ケットについて、

   

   を証明せよ。

7. 級数展開を使って求めた が、

   

   を満たすことを確かめよ。

8. 一般に　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \

   

   と書けることを証明せよ。

（応用編：行列要素）

1. エルミ−ト関数を使った方法と、生成消滅演算子を使った方法の 両方で、つぎの行列要素を求めよ。

   

2. 調和振動子の固有状態について、ビリアル定理

   

   が成り立つことを示せ。

（数学編：エルミ−ト多項式）

1. エルミ−ト多項式として、

    

   で定義したものがよく使われる。 これが、微分方程式

    

   の解になっていることを確かめよ。

2. 式(21) より、 をn=0,1,2,3 について求めよ。

3. エルミート多項式が、

     

   の漸化式を満たすことを示せ。

4. 漸化式（23）、（24）を満たせば、 は、微分方程式（22）を満たすことを証明せよ。

5. エルミート多項式は、母関数

    

   の展開係数 としても定義できる。 このように定義した が微分方程式(22)を満たすことを証明せよ。

6. 式(25) より、 をn=0,1,2,3 について求めよ。

7. 式（25）で定義したエルミート関数が、漸化式（23）, （24）を満たすこと、 したがって、微分方程式を（22）を満たすことを示せ。

8. 母関数を用いてエルミ−ト関数の規格直交性

   

   を証明せよ。

9. 波動関数 の規格化定数N を求めよ。