VISIT MY BOOKSHELF
http://www.iitaka.org/

物理学演習Ｂ　（第８回） １９９１年６月２５日 （飯高）

（１次元散乱問題）

1. は、粒子が区間 に見いだされる確率を与える。 時間に依存したSchrödinger方程式

   

   を用いて、 確率密度の保存則

   

   を１次元の場合について証明せよ。 ただし、は、３次元の場合

   

   で定義される 流束（流れの密度）の演算子である。

2. 質量mの粒子が次のような１次元ポテンシャルにから エネルギーEで入射するとき、 透過率と 反射率を求めよ。 また、透過率のエネルギー依存性を図示せよ。 ここで、透過率Ｔは入射粒子の流束に対する透過波の流束の比と定義する。

   1. 

   2. 

3. ［応用］半導体中に作られた次のような１次元ポテンシャルに電子が から エネルギーEで入射する。ポテンシャルは電極 にかかる電圧を制御することで 自由に変えられる。透過率のに対する依存性を図示せよ。この ような半導体素子 にはどのような応用が考えられるか。

   

   ただし、とする。

（３次元問題）

1. ３次元の等方調和振動子

   

   の固有エネルギー、エネルギー固有関数を直交座標系を用いて 求めよ。

2. 質量mの粒子が、１辺のLの大きな箱の中に閉じこめられている。
   1. 周期的境界条件

      

      を用いてエネルギー固有関数およびエネルギー固有値を 求めよ。

   2. N個の自由電子が１辺のLの大きな箱の中に閉じこめられている。 （これを 自由電子ガスとよぶ。） 電子は、フェルミ粒子なので同一の状態を２個以上の電子が占めることはできない。 そこで、系の基底状態では、波数空間上で （はフェルミ波数）で表される球内のひとつひとつの状態を１ 個の 電子が占めている。単位体積当たりの電子の個数がnのときのフェルミ波数を求めよ。 ただし、一つの波数に対してスピン上向きと下向きの二つの状 態が あることに注意せよ。

   3. フェルミ波数を持った電子のエネルギーをフェルミエネルギーという。 フェルミエネルギーを求めよ。

   4. 状態密度が

      

      となることを示せ。状態密度とは、が 区間 の間のエネルギーを固有値に持つ状態の数を 表す関数である。

3. ［応用］ Fermi-Dirac分布関数をつかって、自由電子ガスの比熱を求めよ。 古典論と比較し結果を物理的に考察せよ。

4. ［応用］
   1. 太陽の質量をとするとき、 太陽に存在する電子の総数を推定せよ。

   2. もし、上の数の電子が半径１０ｋｍのパルサー星のなかに閉じこめられて いるとして、電子のフェルミエネルギーを求めよ。

   3. パルサー星は、おもに中性子から出来ていると考えられる。 反応の際に放出されるエネルギーが であることを考慮してこのことを説明せよ。