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物理学演習Ｂ（第９回） １９９１年７月２日 (飯高）

（量子力学）

水素原子

中心力場中での粒子の運動を考える。運動エネルギーは動径成分と回転成分に 分けられ、

 

となるので、ハミルトニアンHは極座標表示で

と書ける。ただし、は 軌道角運動量演算子で

で定義され、極座標では

    

と表される。

1. 水素原子のエネルギー固有状態の波動関数を と変数分離してに対する方程式を求めよ。 ただし、は との同時固有関数

   

   であり、つぎの直交規格化条件

   

   および完備性

   

   を満たす。

2. 無次元の変数 , を使って、に対する方程式が次の形になることを示せ。

   

3. でと なることを示せ。また、 で となることを示せ。

4. と置くと、の 微分方程式が次の形に なることを示せ。Nは規格化定数である。

   

5. とおいて、係数が次の漸化式を満たすことを示せ。 ただし、は零でない。

    

6. 有限のkに対してがけして0 にならないとすると、 となり、 , となるので境界条件を満たさないことを示せ。

7. したがって、境界条件を満たすためには、漸化式(14) において となる非負の整数kが存在する必要が ある。 このことからエネルギー固有値が (nは正の整数) となることを証明せよ。

8. n=1,2 に対する、 および を全て求めよ。 規格化定数はNのままでよい。

9. ［数学］式(4)-(7)および式(1)を 証明せよ。

（電磁気学）

原点にある電気双極子が波動域内の点につくる電磁場 は、

と書ける。これを用いて以下の問に答えよ。

1. 原点にあってz 軸方向に角振動数で振動して いる双極子 から放射される電磁波の強度の角度分布を求め、図示せよ。

2. の方向からこの双極子を見たときの電磁波の偏光を調べよ。

3. 全放射強度を求めよ。

4. 電荷e の粒子が半径r、角速度で原点を中心 に x-y 平面上を等速円運動して いる。 の方向からこの双極子を見たときの電磁波の偏光を調べよ。また、 の方向から見たときの偏光を調べよ。