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物理学演習Ｂ　（第３回） １９９１年５月２１日 （飯高） 基底の変更、不確定性

1. 1. を対角化する基底を、を対角化する基底に変換する 変換行列Uを作れ。
   2. 答が一般的な関係式

      

      と一致することを示せ。

   3. を対角化する基底での、,,の行列表示を 求めよ。

2. を、の性質を持つ エルミート演算子Aの関数とする。基底から基底への 変換行列がわかっているとき、 を計算せよ。

3. 真空中に電荷密度 と電流密度が分布しているときのMaxwellの方程式を書 け。

4. スカラーポテンシャル と ベクトルポテンシャル を用いてMaxwellの方程式を書き換えよ。ただし、ローレンツ・ゲージ をもちいよ。

5. この方程式の解は、遅延ポテンシャル

     

   であたえられる。

   電荷の分布している領域が原点O付近に限られているとして、 「電気双極子近似」の範囲で電磁ポテンシャルが、

     

   となることを示せ。 ここで、Qは電荷の総量、は電荷分布の双極子 モーメント

   

   である。

   ［ヒント］をつかって、

   

   のように展開する。

   ［応用問題］

6. 水素原子のハミルトニアンは

   

   である。

   1. 電子の広がりをとして不確定性原理を 用いることにより、 水素原子の基底状態の電子の広がりと束縛エネルギーを見積もれ。
   2. 点電荷Zのまわりに電子が一つ束縛されているときの 基底状態の電子の広がりと束縛エネルギーを見積もり、電荷Zに どのように依存するか議論せよ。
   3. もしも、ポテンシャルがでなく、 だったら、水素原子はどうなるか。

7. 遅延ポテンシャルの式（1）（2）を 導け。

8. 電気双極子近似のポテンシャル（3）（4）を 用いて、遠方での電場、磁場をもとめよ。