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問７　 エルミート演算子  の固有ケット で張られるケット空間を 考える。縮退はないとする。

a.

は零演算子   であることを証明せよ。

b.

はどのような意味のある演算子か。

c.

をスピンの系のに等しい と置き、 (a.)と(b.)を説明せよ。

［解答］

a.

まず、演算子の任意の固有ケットに 問題の演算子 を作用させてみる。

だから、

 

となる。

問題のケット空間の任意のケットは を基底として

と展開されるので、式(1)をつかって

となる。よって、は 零演算子である。

b.

まず、演算子の任意の固有ケットを問題の演算子 に作用させてみると、

となるので、 との二つの場合に分けて考える。

のとき、 設問( a.)と同様にして、分子の因子のうちの一つが ゼロになる。縮退はないので分母はゼロにならない。したがって、

となる。

のとき、の因子がないので

となる。

よって、一般に

と書ける。

任意のケットに を作用させ てみよう。 はを基底として

と展開されるので、

となる。よって、 は任意のケットからの成分だけをとりだす 射影演算子   である。

c.

演算子とおくと、の固有値固有ケットは

である。

(a.)零演算子は

となる。

この演算子を任意のケット に作用させてみよう。

となって、実際に零演算子になっている。

(b.)射影演算子は、,とすれば、

となる。 この演算子を任意のケット に作用させてみよう。

となって、実際にの成分を取り出す スピン射影演算子  になっている。また、とすれば、 スピン射影演算子は となり、の成分を取り出す演算子になる。