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問３０　の ２準位系  を考える。２準位系を結ぶ時間に依存する 次のようなポテンシャルがある：

では下の準位のみに状態が分布していたこと---すな わち, ---が分かっている。

a.

での,を、連立微分方程式

を厳密に解いて求めよ。［］

b.

同じ問題を時間を含む摂動論を用い、有限な解を与える最低次の 次数で解け。この二つの方法をが小さい値のとき比較せよ。 次の二つの場合を別々に扱え：(i)がと非常に異なる場合、 (ii)がと近い場合

［解答］

a.

とすれば、 に関する連立微分方程式は

 

となる。 この方程式を互いに代入して、のみ、のみの微分方程式を 作ると

 

を得る。 ここで、一階微分の項を消去するために 位相変換 

を行い、この変換を式(24)に代入して とに対する微分方程式

を得る。

との一般解は

 

と書ける。ただし

である。

との一般解は、 式(25)を位相変換の式(24)に代入して

 

となる。

さて、初期条件と式(26)から

 

であり、 式(27)を式(23) に代入して

を得る。 よって、４つの積分定数は

となる。したがって、遷移振幅は

となって、 （ ラビの公式 ）

が導かれる。

b.

1. とが非常に異なる場合、 時間に依存した摂動論により

   

   となる。

2. の場合、 時間に依存した摂動論により

   

   となる。