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問２　を実数、を実数を成分とする３次元ベクトルとするとき

で定義される行列を考える。

a.

がユニタリーかつユニモジュラーであること を証明せよ。

b.

一般に ユニタリー・ユニモジュラー行列  は、 ３次元での 回転 を表す。に対応する回転軸と回転角を、,,および を用いて求めよ。

［解答］　

a.

行列の エルミート共役行列 は

であるから、

となり、行列はユニタリーである。

また、行列の行列式は

であるから、行列はユニモジュラーである。 ただし、分母分子それぞれの行列式がともに

となることを用いた。

b.

の行列要素を計算しよう。

教科書の式(3.3.10)より、

であるから、回転角は

回転軸は

となる。