\documentstyle[12pt]{article} % % (c) T.Iitaka 1994 % \begin{document} %\author{相沢洋二、飯高敏晃} %\date{} %\maketitle \setlength{\parindent}{0cm} \setlength{\parskip}{1pt} \begin{center} \Large 確率統計演習　１ \end{center} \section{確率} (1) 一組52枚のトランプカードから同時に3枚を引くとき、全部が スペードである確率を求めよ。 (2) N個のボールをN個の箱に無作為に振り分けるとき、おのおのの箱に 1個のボールだけが含まれる確率を求めよ。 (3) 袋の中に赤球が7個、白球が5個入っている。この袋の中から3個の 球を取り出すとき、2個が赤で1個が白である確率を求めよ。 \section{デルタ関数、単位階段関数} (4) {\bf ディラックのデルタ関数}　\(\delta(x)\) と {\bf ヘビサイドの単位階段関数} \(\theta(x)\) について、 次の性質を証明せよ。\begin{enumerate} \item \( \delta(x) = \delta(-x) \) \item \( x\delta(x) = 0 \) \item \( \delta(ax) = \frac {1}{|a|} \delta(x) \) \item \( f(x) \delta(x-a) = f(a) \delta(x-a) \) \item \( \frac {d \theta(x)}{dx} = \delta(x) \) \end{enumerate} \section{確率密度関数、累積分布関数} (5) 区間［0,10］から実数 \(x\) を平等に選ぶとき、確率密度関数　 \(p(x)\)　および、累積分布関数 \(P^*(x)\) を求めよ。また、 \(x=2\) になる 確率　\(P(x=2)\) を求めよ。 (6) サイコロを振るとき得られる目の数を確率変数として、確率密度関数　 \(p(x)\) および累積分布関数 \(P^*(x)\) を求めよ。 (7) 確率分布が平均 \(\bar{x}\) および標準偏差 \(\sigma\) を持てば、 \(k\sigma\) 以上平均から外れた値を有する確率は、 \(1/k^2\) 以下となる。 すなわち、チェビシェフの不等式 \[ P(|x-\bar{x}|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] が成り立つことをを証明せよ。 \section{メジアン、モード、モーメント} (8) 確率変数 \(x\) のメジアン（中央値）は、 \(P^*(x)\) を累積分布関数と したとき \(P^*(x_m)=0.5\) となる \(x_m\) で定義される。確率密度関数が、 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & \frac{1}{x_0} e^{-x/x_0}, & \mbox{\(x \geq 0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{\(x < 0 \)のとき} \end{array} \] で与えられるとき、確率変数　\(x\) の中央値を決定せよ。 (9) 確率変数 \(x\) のモードは、\(x\) の最頻値（most probable value） として定義される。確率密度関数が、 \[ p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left( - \frac{x^2-2x_0x+x_0^2}{2 \sigma^2} \right) \] で与えられる確率変数\(x\)のモードを求めよ。 (10) 確率密度関数が、 \[ p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left( - \frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right) \] で与えられるとき、一次および二次中心モーメントを計算せよ。 また、n次中心モーメントを求めよ。 (11) 非対称性（asymmetry）または歪度（skewness）は、 \(\gamma_1 = \overline{(x-\bar{x})^3} / \sigma^3\) で定義される。 次の確率密度関数に対する歪度を計算せよ。 \[ \begin{array}{rrcll} (a)& p(x) & = & (1/x_0) e^{-x/x_0}, & \mbox{\(x \geq 0\) のとき} \\ & & = & 0 & \mbox{\(x < 0 \) のとき} \\ (b)& p(x) & = & (1/x_0) e^{ x/x_0}, & \mbox{\(x \leq 0\) のとき} \\ & & = & 0 & \mbox{\(x > 0 \) のとき} \\ (c)& p(x) & = & (1/\Gamma(\rho)) x^{\rho-1} e^{-x} & \mbox{\(x \geq 0\) のとき} \\ & & = & 0 & \mbox{\(x < 0 \) のとき} \\ & & & \mbox{ただし　\(\rho>1\)} & \end{array} \] (12) 尖度（excess,kurtosis）は、 \[ \gamma_2 = \frac{\overline{(x-\bar{x})^4}}{\sigma^4}-3 \] で定義される。正規確率密度関数、 \[ p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left( - \frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right) \] に対する尖度を計算せよ。 (13) コーシ分布（Cauchy distribution） \[ p(x) = \frac {1}{\pi(1+x^2)} \] のモーメントは存在しないことを示せ。 \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　2 \end{center} \section{二項分布} (1)　ベルヌイ試行とは、成功 \( s \) および、失敗 \( f \) と呼ばれる 二つの可能な結果のみをもつ試行である。成功および失敗の確率は、 \(P(s)=p, P(f)=q\)で与えられ、\(p+q=1\)である。n回の試行のうちr回が 成功で(n-r)回が失敗である確率は、二項分布（binomial distribution）で 与えられる。二項分布の確率密度関数を求めよ。 (2)　n回ベルヌイ試行をおこなうとき、成功の回数の平均および標準偏差は、 \(\bar{r}=np, \sigma^2=npq\)であることが知られている。　\(n=2\)　の 場合について、証明せよ。 (3)　10回硬貨を投げるとき、5回が表で5回が裏になる確率を求めよ。 \section{ポアッソン分布} (4)　ポアッソン過程（Poisson process）は、時間的に無規則（randomly）に 起こる多数の独立事象から成る。無限小時間　\(dt\)　の間に一つの事象が 起こる確率が　\(v\ dt\) （\(v\)：単位時間あたりに起こる事象の平均数） であるとき、ある有限な時間間隔 \(T\) の間に \(k\) 個の事象が起こる確率は ポアッソン分布（Poisson distribution） \[ P(k) = \frac{(vT)^k}{k!} e^{-vT} \] で与えられる。時間間隔 \(T\) の間に起こる事象の平均数および標準偏差を 求めよ。 (5)　二項分布　\(_nC_k p^k q^{n-k}\) は、　\(\lambda = np \) を一定に 保って \(n\) を大きく取ったとき、　Poisson分布 \[ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] で近似されることを示せ。 (6)　平均　\(10^{13}\) （電子／秒）の割合で熱陰極から電子が放射される とする。　\(T\)　秒の間に電子が全く放射されない確率　\(P(0)\)　および、 電子が1個だけ放出される確率　\(P(1)\)　を求め、　\(T\)　の関数として 図示せよ。 \section{一様分布} (7)　パラメータ　\(a\)　および　\(b\)　を持つ一様分布（uniform distribution） は、確率密度関数、 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & \frac{1}{b}, & \mbox{\(a \leq x \leq a+b \) のとき} \\ & = & 0 & \mbox{それ以外のとき} \end{array} \] で定義される。平均値と標準偏差を求めよ。 (8)　区間[0,100]の実数を無作為に選び、最も近い整数にまるめる。確率変数 　\(x\)　が、 \[ x = \mbox{選んだ数} - \mbox{最も近い整数} \] で定義されるとき、　\(\overline{x^2}\) を求めよ。 \section{正弦分布} (9)　変数　\( y=A \sin \theta\) （\(\theta\)：範囲 \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)で一様分布）は、 正弦分布（sinusoidal distribution）しているという。 正弦分布の確率密度関数が \[ \begin{array}{rcll} p(y) & = & \frac{1}{\pi \sqrt{A^2-y^2}}, & \mbox{\(-A \leq y \leq A \) のとき} \\ & = & 0 & \mbox{それ以外のとき} \end{array} \] となることを示せ。 (10)　正弦分布の平均および標準偏差を求めよ。 \section{正規分布} (11)　誤差関数（error function）は、 \[ {\rm erf}(y) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int^y_0 e^{-z^2} dz \] で定義される。　\({\rm erf}(y)\) をつかって、　\({\rm erf}(-y)\)　 を表せ。 (12) 正規分布、 \[ p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left( - \frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right) \] の累積分布関数を　\({\rm erf}(y)\) をつかって表せ。 (13)　二項分布　\(_nC_k p^k q^{n-k}\) は、　\( p \) を一定に 保って \(n\) を大きく取ったとき、 \(\bar{x} = np\), \(\sigma^2 = npq\) で表される正規分布で近似されることを示せ。 ヒント：Stirlingの公式 \[ m! \approx \sqrt{2\pi} m^{m + 1/2} e^{-m} \ \ \ (m \rightarrow \infty) \] を　\(n!,\ k!,\ (n-k)!\)　に適用し、 \((k-np)/\sqrt{npq}\) を有界な範囲に 保ちながら、 \(n \rightarrow \infty\) の近似をとる。 %(8)　振動数　\(\nu\)　の正弦波を発生する発振器の振動数を周波数計で測定する。 %周波数計は、電圧の符号が負から正に変化するごとに周波数をカウントする。計測の %始めと終わりの \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　3 \end{center} \section{ガンマ分布、ベータ分布} (1)　パラメータ \(\alpha>0\) と \(\beta>0\) をもつガンマ分布は、確率密度関数、 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & \frac{1}{\beta^{\alpha+1} \Gamma(\alpha+1)} x^{\alpha} e^{-x/\beta}, & \mbox{\(x>0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{それ以外のとき} \end{array} \] で定義される。このとき、確率密度関数の性質 \(\int^{\infty}_{-\infty} p(x)dx=1\)を満足することを示せ。 (2)　ガンマ分布について、 原点のまわりのn次のモーメント \(\overline{x^n}\) および標準偏差を求めよ。 (3)　パラメータ \(\alpha>-1\) と \(\beta>-1\) をもつベータ分布は、 確率密度関数、 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & \frac{\Gamma(\alpha+\beta+2)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)} x^{\alpha} (1-x)^\beta, & \mbox{\(0 \leq x \leq 1\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{それ以外のとき} \end{array} \] で定義される。このとき、確率密度関数の性質 \(\int^{\infty}_{-\infty} p(x)dx=1\)を満足することを示せ。 ヒント：ベータ関数の性質 \[ B(x,y) \equiv \int_0^1 \!\!dt \ \ t^{x-1}(1-t)^{y-1} =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \] を使う。 (4)　ベータ分布について、 原点のまわりのn次のモーメント \(\overline{x^n}\) を求めよ。 \section{変数の変換} (5) 確率変数 \(x\) の確率密度関数が \(p_x(x)\) であるとき、 \(x\) の単調関数 \(y=f(x)\) で与えられる確率変数 \(y\) の確率密度関数は、 \[ p_y(x) = p_x(x(y)) \left| \frac{dx(y)}{dy} \right| \] で与えられることを説明せよ。 (6)　確率変数 \(x\) の確率密度関数が \(p_x(x)\) であるとき、 \(y=e^x+1\) の確率密度関数 \(p_y(y)\) を　\(p_x(x)\) と \(y\) を 用いて表せ。 (7)　確率変数 \(x\) の確率密度関数が、正規分布 \(p_x(x)=(1/\sqrt{2\pi}\sigma)e^{-x^2/2\sigma^2}\) であるとき、 \(y=x^2\) の確率密度関数 \(p_y(y)\) を　\(y\) の関数として求めよ。 \section{確率変数の和} (8)　独立な確率変数　\(x_1\) および \(x_2\)　が、それぞれ確率密度関数 \(p_{x_1}(x)\) および \(p_{x_2}(x)\) をもつとき、 二つの確率変数の和 \(y=x_1+x_2\) にたいする確率密度関数 \(p_y(y)\) が、 \( p_y(y)=p_{x_1}*p_{x_2} \) で与えられることを証明せよ。ただし、\(p_{x_1}*p_{x_2}\) は、 \[ p_{x_1}*p_{x_2}=\int^\infty_{-\infty}dx_1 p_{x_1}(x_1) p_{x_2}(y-x_1) \] で定義される、畳み込み積分である。 (9)　等式　\(p_{x_1}*p_{x_2}=p_{x_2}*p_{x_1}\) を証明して、 \(p_y(y)=p_{x_1}*p_{x_2}=p_{x_2}*p_{x_1}\) となることを示せ。 (10)　独立な確率変数　\(x_1, \ x_2, \cdots x_n \)　が、それぞれ確率密度関数 　\(p_{x_1}(x),\ p_{x_2}(x), \cdots ,p_{x_n}(x)\) をもつとき、 確率変数の和 \(y=x_1+x_2+ \cdots +x_n\) にたいする 確率密度関数 \(p_y(y)\) が、 \[ p_y(y)=p_{x_1}*p_{x_2}* \cdots *p_{x_n} \] で与えられることを証明せよ。ただし、\(p_{x_1}*p_{x_2}* \cdots *p_{x_n}\) は、 \[ p_{x_1}*p_{x_2}*p_{x_3} \cdots *p_{x_n}= ((\cdots((p_{x_1}*p_{x_2})*p_{x_3})\cdots)*p_{x_n} \] で定義される、畳み込み積分である。 (11)　独立な確率変数 \(x_1,\ x_2\) の確率密度関数が \[ \begin{array}{rcllrcll} p_{x_1}(x_1) & = & a e^{-ax_1}, & \mbox{\(x_1 \geq 0\)のとき} &p_{x_2}(x_2) & = & b e^{-bx_2}, & \mbox{\(x_2 \geq 0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{\(x_1 < 0 \)のとき} & & = & 0 & \mbox{\(x_2 < 0 \)のとき} \end{array} \] であるとき、　\(y=x_1+x_2\) の確率密度関数　\(p_y(y)\) を求めよ。 \section{中心極限定理} (12)　独立な確率変数 \(x_1,\ x_2,\ \cdots , x_n\) が 確率密度関数 \(p_{x_1},\ p_{x_2},\ \cdots , p_{x_n}\) をもつとき、確率変数の和 \(y=x_1+x_2+ \cdots +x_n\) の確率密度関数 \(p_y(y)=p_{x_1}*p_{x_2}* \cdots *p_{x_n}\) は、\(n \rightarrow \infty\) の極限で、 \[ \lim_{n \rightarrow \infty} p_y(y) \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(y-\bar y)^2}{2\sigma^2}\right) \] となって、正規分布関数に近付く。ただし、 \[ \begin{array}{rcl} \bar y & = & \bar x_1 + \bar x_2 + \cdots + \bar x_n + \cdots \\ \sigma^2 & = & \sigma_1^2 +\sigma_2^2 +\cdots +\sigma_n^2 + \cdots \end{array} \] である。このことは、非常に一般的な条件のもとで成り立って、 中心極限定理　(central limit theorem) と呼ばれている。 独立な確率変数 \(x_1,\ x_2,\ \cdots , x_n\) が同一の確率密度関数 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & e^{-x}, & \mbox{\(x \geq 0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{\(x < 0 \)のとき} \end{array} \] をもつとき、 確率変数の和 \(y=x_1+x_2+ \cdots +x_n\) の確率密度関数 \(p_y(y)\) の　 \(n \rightarrow \infty\) の極限を中心極限定理を利用して求めよ。 \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　4 \end{center} \section{モーメント母関数} (1)　モーメント母関数(moment generatig function)は、 確率密度関数 \(p(x)\) をもちいて \[ M(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \!\!dx e^{\xi x} p(x) \] で定義される。このとき、n次のモーメント　\(\mu_n\) は、モーメント 母関数をつかって、 \[ \mu_n \equiv \int_{-\infty}^\infty \!\! dx \ x^n p(x) = \left. \frac{d^nM}{d\xi^n} \right|_{\xi=0} \] と表せることを示せ。 (2)　確率密度関数　\(p(x)=\theta(x)\theta(1-x)\) について、 モーメント母関数を求めよ。また、n次のモーメントをモーメント母関数を つかって求めよ。 (3)　ポアッソン分布、\( p(x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \delta(x-k) \) のモーメント母関数を求めよ。また、分散 \(\sigma^2\) をモーメント母関数を つかって求めよ。 (4)　n次のキュムラント (cumulant) \(\gamma_n\) は、モーメント母関数 \(M(\xi)\)をもちいて \[ \gamma_n = \left. \frac{d^n \log M(\xi)}{d\xi^n} \right|_{\xi=0} \] で定義される。このとき、\(\gamma_n; \ n=1,2,3\) を モーメント \(\mu_n\) をつかって表せ。 \section{特性関数} (5)　特性関数(characteristic function)は、 確率密度関数 \(p(x)\) をもちいて \[ C(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \!\!dx \ e^{i \xi x} p(x) \] で定義される。このとき、n次のモーメント　\(\mu_n\) は、特性関数をつかって、 \[ \mu_n \equiv \int_{-\infty}^\infty \!\! dx x^n p(x) = \left. \frac{1}{i^n}\frac{d^nC}{d\xi^n} \right|_{\xi=0} \] と表せることを示せ。 (6)　ガンマ分布、\( p(x)= x^{n-1}e^{-x}/\Gamma(n) (0 \leq x <\infty) \) の特性関数を求めよ。また、分散 \(\sigma^2\) を特性関数をつかって求めよ。 (7)　正弦分布、 \[ p(x)= \frac{1}{\pi\sqrt{A^2-x^2}} \theta(A^2-x^2) \] の特性関数を0次のベッセル関数 \[ J_0(x) \equiv \frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{ix \sin\theta} d\theta \] をつかって表せ。 (8)　平均 \(\bar{x}\) および標準偏差 \(\sigma\) をもつ 正規分布の特性関数が \(e^{i\xi\bar{x}-\sigma^2\xi^2/2}\) となることを示せ。また、1次と2次のモーメントを特性関数から求めよ。 (9)　独立な確率変数　\(x_1\) および \(x_2\)　が、それぞれ確率密度関数 \(p_{x_1}(x)\) および \(p_{x_2}(x)\) をもつとき、 二つの確率変数の和 \(y=x_1+x_2\) にたいする確率密度関数 \(p_y(y)\) は、 \( p_y(y)=p_{x_1}*p_{x_2} \) で与えられる。ただし、\(p_{x_1}*p_{x_2}\) は、 \[ p_{x_1}*p_{x_2}=\int^\infty_{-\infty}dx_1 p_{x_1}(x_1) p_{x_2}(y-x_1) \] で定義される、畳み込み積分である。このとき、\(p_{y}(y)\) \(p_{x_1}(x)\) および \(p_{x_2}(x)\) の特性関数を \(C_{y}(\xi)\) \(C_{x_1}(\xi)\) および \(C_{x_2}(\xi)\) とすると、 \[ C_{y}(\xi)=C_{x1}(\xi)C_{x_2}(\xi) \] となることを証明せよ。 (10)　独立な確率変数　\(x_1, \ x_2, \cdots x_n \)　が、 それぞれ平均 　\(\bar{x}_1,\ \cdots ,\bar{x}_n\) と標準偏差 　\(\sigma_1,\ \cdots ,\sigma_n\) をもつ正規分布であるとき、 和　\(z=x_1+ \cdots +x_n\) は、平均と標準偏差が \[ \bar{z}=\bar{x}_1+\bar{x}_2+ \cdots +\bar{x}_n, \ \ \sigma_z^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2+ \cdots +\sigma_n^2 \] の正規分布になることを示せ。 \section{中心極限定理の証明} (11)　独立な確率変数 \(x_1,\ x_2,\ \cdots , x_n\) の和 \(y=x_1+x_2+ \cdots +x_n\) の確率密度関数 は、\(n \rightarrow \infty\) の極限で、 \[ \lim_{n \rightarrow \infty} p_y(y) \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(y-\bar y)^2}{2\sigma^2}\right) \] ただし、 \[ \bar y = \bar x_1 + \bar x_2 + \cdots + \bar x_n ,\ \ \sigma^2 = \sigma_1^2 +\sigma_2^2 +\cdots +\sigma_n^2 \] となって正規分布に近づくことを、独立な確率変数 \(x_1,\ x_2,\ \cdots , x_n\) が同一の確率密度関数 \(p(x)\) をもつ場合 について、次のようにして証明せよ。 (A) 確率変数 \(z\) を \[ z=\frac{y-n\bar x}{\sigma\sqrt{n}} =\frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n (x_k-\bar x) \] とすると、zの特性関数が \[ C_z(\xi)=\left[ \int_{-\infty}^{\infty} \!\!dx \exp(\frac{i\xi (x-\bar x)}{\sigma\sqrt{n}}) p(x) \right]^n \] となることを示す。 (B)括弧 [] の中を　\(1/\sqrt{n}\) について展開して \(C_z \rightarrow e^{-\xi^2/2}: \ n \rightarrow \infty\) を証明する。 (C) (A), (B)を使って、 \[ p_z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}, \ p_y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(y-\bar{y})^2/2\sigma^2} \] を証明する。 \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　5 \end{center} (1) ディラックのデルタ関数　\(\delta(x)\) と ヘビサイドの単位階段関数 \(\theta(x)\) について、 次の性質を証明せよ。\begin{enumerate} \item \( \delta(x) = \delta(-x) \) \item \( x\delta(x) = 0 \) \item \( \delta(ax) = \frac {1}{|a|} \delta(x) \) \item \( f(x) \delta(x-a) = f(a) \delta(x-a) \) \item \( \frac {d \theta(x)}{dx} = \delta(x) \) \end{enumerate} (2)　10回硬貨を投げるとき、5回が表で5回が裏になる確率を求めよ。 (3)　区間[0,100]の実数を無作為に選び、最も近い整数にまるめる。確率変数 　\(x\)　が、 \[ x = \mbox{選んだ数} - \mbox{最も近い整数} \] で定義されるとき、　\(\overline{x^2}\) を求めよ。 (4)　パラメータ \(\alpha>-1\) と \(\beta>-1\) をもつベータ分布は、 確率密度関数、 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & \frac{\Gamma(\alpha+\beta+2)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)} x^{\alpha} (1-x)^\beta, & \mbox{\(0 \leq x \leq 1\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{それ以外のとき} \end{array} \] で定義される。このとき、確率密度関数の性質 \(\int^{\infty}_{-\infty} p(x)dx=1\)を満足することを示せ。 　また、原点のまわりのn次のモーメント \(\overline{x^n}\) を求めよ。 ヒント：ベータ関数の性質 \[ B(x,y) \equiv \int_0^1 \!\!dt \ \ t^{x-1}(1-t)^{y-1} =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \] を使う。 (5)　確率変数 \(x\) の確率密度関数が、正規分布 \(p_x(x)=(1/\sqrt{2\pi}\sigma)e^{-x^2/2\sigma^2}\) であるとき、 \(y=x^2\) の確率密度関数 \(p_y(y)\) を　\(y\) の関数として求めよ。 (6)　独立な確率変数 \(x_1,\ x_2\) の確率密度関数が \[ \begin{array}{rcllrcll} p_{x_1}(x_1) & = & a e^{-ax_1}, & \mbox{\(x_1 \geq 0\)のとき} &p_{x_2}(x_2) & = & b e^{-bx_2}, & \mbox{\(x_2 \geq 0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{\(x_1 < 0 \)のとき} & & = & 0 & \mbox{\(x_2 < 0 \)のとき} \end{array} \] であるとき、　\(y=x_1+x_2\) の確率密度関数　\(p_y(y)\) を求めよ。 (7)独立な確率変数 \(x_1,\ x_2,\ \cdots , x_n\) が同一の確率密度関数 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & e^{-x}, & \mbox{\(x \geq 0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{\(x < 0 \)のとき} \end{array} \] をもつとき、 確率変数の和 \(y=x_1+x_2+ \cdots +x_n\) の確率密度関数 \(p_y(y)\) の　 \(n \rightarrow \infty\) での近似式をを中心極限定理を利用して求めよ。 (8)　平均 \(\bar{x}\) および標準偏差 \(\sigma\) をもつ 正規分布の特性関数が \(e^{i\xi\bar{x}-\sigma^2\xi^2/2}\) となることを示せ。また、平均と分散を特性関数から求めよ。 (9)　ガンマ分布、\( p(x)= x^{n-1}e^{-x}/\Gamma(n) (0 \leq x <\infty) \) の特性関数を求めよ。また、平均と分散 \(\sigma^2\) を特性関数をつかって求めよ。 (10)　ポアッソン分布、\( p(x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \delta(x-k) \) の特性関数を求めよ。また、分散 \(\sigma^2\) を特性関数を つかって求めよ。 (11)　二項分布、\( p(x)= \sum_{k=0}^{n} {_nC_k} p^k (1-p)^{n-k} \delta(x-k) \) の特性関数を求めよ。また、平均と分散を特性関数を つかって求めよ。 (12)　つぎにしめすのは、区間 (0,1) の一様分布をした乱数を 発生する関数 RND(1) を利用した BASIC プログラムである。 これを参考にして、指数分布 \[ \begin{array}{rcll} p(x) & = & e^{-x}, & \mbox{\(x \geq 0\)のとき} \\ & = & 0 & \mbox{\(x < 0 \)のとき} \end{array} \] をした乱数を発生する BASIC プログラムを書け。 ただし、 BASIC では自然対数は LOG(数式) で与えられる。 \[ \begin{array}{rcl} 100 &\ &\rm{FOR \ I=1 \ TO \ 1000}\\ 200 &\ &\rm{X=RND(1)}\\ 300 &\ &\rm{PRINT \ X}\\ 400 &\ &\rm{NEXT \ I}\\ 500 &\ &\rm{END} \end{array} \] (13)　特性関数(characteristic function)は、 確率密度関数 \(p(x)\) をもちいて \begin{equation} C(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \!\!dx' \ e^{i \xi x'} p(x') \label{eq:chrc1} \end{equation} で定義される。このとき、確率密度関数は特性関数をもちいて \begin{equation} p(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \!\!d\xi \ e^{-i \xi x} C(\xi) \label{eq:chrc2} \end{equation} と表せることを、デルタ関数の公式 \begin{equation} \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \!\!d\xi \ e^{i \xi x} \end{equation} をつかって示せ。 (式(\ref{eq:chrc1})と式(\ref{eq:chrc2})は Fourier 変換と、逆 Fourier 変換の関係になっている。) \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　6 \end{center} \setlength{\parskip}{12pt} (1-a)　時刻\(t=0\)で速度\(v_0\)をもつ微粒子（ブラウン粒子）が液体中で 粘性抵抗\(-\xi v\)を受けるときの運動方程式およびその解 \(v(t)\) を求めよ。　 代表的な値 \(\xi/m=2\times10^{7}(1/s)\) を用いて、 微粒子の速度が初期値の\(1/e\)になる時間 \(\tau_0\) を求めよ。 (1-b)　エネルギー等分配則によると、熱平衡にある粒子の並進運動の自由度1つ に分配されるエネルギーは\(\frac{1}{2}kT\)である（kはBoltzman定数）。 常温でこのエネルギーは何Jになるか。 (1-c)　ブラウン粒子は1分間に\(10 \mu\)程度動くことが知られている。 ブラウン粒子の質量を \(m=10^{-15}(kg)\) として、運動エネルギーを推定せよ。 これを前問の結果と比較して議論せよ。 (2)　ランジュバンは、ブラウン運動を説明するために微粒子と液体の粒子との 衝突によるランダムな力の項 \(F(t)\) を運動方程式に付け加えた。 (Langevin方程式) \[ m \frac{dv}{dt} = -\xi v + F(t) \] (2-a)両辺に \(x\) をかけて \[ \frac{m}{2} \frac{d^2(x^2)}{dt^2} -mv^2 = -\frac{\xi}{2} \frac{d(x^2)}{dt} +F(t)x \] を導け。 (2-b)　上の方程式の集団平均をとり、等分配則 \(\langle \frac{m}{2} v^2 \rangle = \frac{1}{2} kT\)を用いて　 \(z=\langle \frac{d(x^2)}{dt} \rangle\) に対する方程式 \[ m \frac{dz}{dt}+\xi z=2kT \] を導け。 (2-c)方程式 \[ m \frac{dv}{dt}+\xi v=0 \] のグリーン関数が \[ G(t-t_0)= \frac{1}{m} \exp(-\frac{\xi}{m}(t-t_0)) \theta(t-t_0) \] となることを示せ。 (2-d)　初期条件 \(z(t=0)=0\) とグリーン関数を用いて方程式をとき、 zを\(t=0\)から\(t=\tau (\tau \gg \tau_0)\)　まで積分して \[ \langle x^2 \rangle = \frac{2kT}{\xi} t \] を証明せよ。 (3-a)　前問ののグリーン関数をもちいて \[ m \frac{dv}{dt}+\xi v = F(t) \] の解が \[ v(t)=v_0 e^{-\frac{\xi}{m} t} + \int^t_0 e^{-\frac{\xi}{m}(t-t')} \frac{1}{m} F(t') dt' \] となることを示せ。 (3-b)　粒子の位置のずれ及びずれの自乗の集団平均が相関関数をもちいて、 \( t \gg \tau_0 \) に対して、 \begin{eqnarray} \langle \Delta x \rangle &\approx& \frac{1}{\xi} \int_0^t \langle F(t') \rangle dt' \nonumber \\ \langle (\Delta x)^2 \rangle &\approx& \frac{1}{\xi^2} \int_0^t dt' \int_{-t'}^{t-t'} ds \langle F(t') F(t'+s) \rangle \nonumber \\ &\approx& \frac{t}{\xi^2} \int_{-\infty}^{+\infty} ds \langle F(0) F(s) \rangle \nonumber \end{eqnarray} と書けることを示せ。 (3-c)　問題(3)の結果と比較して、 \begin{eqnarray} %\xi & = & \frac{1}{2kT} \int_{-\infty}^{+\infty} ds K(s)\\ \xi & = & \frac{1}{2kT} \int_{-\infty}^{+\infty} ds \langle F(0) F(s) \rangle \nonumber \end{eqnarray} と書けることを示せ。 (4)　平衡な集団において、相関関数 \[ K(s)=\langle F(t') F(t'+s) \rangle=\langle F(0) F(s) \rangle \] は、次の性質を持つことを説明せよ。 \begin{eqnarray} (a) & & K(0) \geq 0 \nonumber \\ (b) & & \lim_{s \rightarrow \infty} K(s) =0 \ \ \ \ \ (if \langle F(t) \rangle =0 ) \nonumber \\ (c) & & \left| K(s) \right| \leq K(0) \nonumber \\ (d) & & K(s)=K(-s) \nonumber \end{eqnarray} \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　7 \end{center} \setlength{\parskip}{12pt} (1)　$\xi$を区間[-1,1]からランダムに選ぶとき、確率過程$X(t)$と$Y(t)$を 次のように定義する。 \[ X(t)=\xi\cos(2\pi t) \] \[ Y(t)=\cos(2\pi t+\pi\xi) \] 時刻$t=t_0$における$X(t_0)$と$Y(t_0)$の確率密度関数を求めよ。 (2)　確率過程$X(t)=\xi\cos(2\pi t)$を考える。$\xi$は任意の確率変数である。 X(t)の平均$m_X(t)$、自己相関関数$R_X(t_1,t_2)$、 自己共分散関数$C_X(t_1,t_2)$を求めよ。 (3)　確率過程$X(t)=\cos(2\pi t+\pi\xi)$を考える。 $\xi$は区間$(-1,1)$で一様に分布している確率変数である。 X(t)の平均$m_X(t)$、自己相関関数$R_X(t_1,t_2)$、 自己共分散関数$C_X(t_1,t_2)$を求めよ。 (4)　確率過程$X(t)=\cos(2\pi t+\pi\xi)$と $Y(t)=\sin(2\pi t+\pi\xi)$を考える。 $\xi$は区間$(-1,1)$で一様に分布している確率変数である。 X(t)とY(t)の相互共分散関数$C_{X,Y}(t_1,t_2)$を求めよ。 (5)　確率過程$X(t)=A\ g(t)$を考える。 $A$は等しい確率で値$\pm1$をとる確率変数である。 また、g(t)は$g(t)= \theta(t) \theta(1-t)$で定義される。 X(t)の平均$m_X(t)$、自己共分散関数$C_X(t_1,t_2)$を求めよ。 (6)　前問で定義したg(t)を使って、確率過程$X(t)=g(t-T)$を考える。 $T$は区間$(0,1)$で一様に分布している確率変数である。 X(t)の平均$m_X(t)$を求めよ。 (7)　$(X(t_1)-X(t_2))^2$の平均をXの自己相関関数を使って表せ。 (8)　$X(t)$と$Y(t)$を平均が０で自己共分散関数が共に$C(t_1,t_2)$ である独立なガウス過程であるとき、$Z(t)$を \[ Z(t)=X(t)\cos\omega t + Y(t)\sin\omega t \] で定義する。$Z(t)$の自己共分散関数と確率密度関数を求めよ。 \clearpage \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} \begin{center} \Large 確率統計演習　8 \end{center} \setlength{\parskip}{12pt} (1)　確率過程$X(t)=\cos(2\pi t+\alpha)$と $Y(t)=\sin(2\pi t+\alpha)$を考える。 $\alpha$は区間$(-\pi,\pi)$で一様に分布している確率変数である。 X(t)とY(t)の相互共分散関数$C_{X,Y}(t_1,t_2)$を求めよ。 (2)　一回の試行で成功する確率がpである試行をn回行ったとき、 成功の回数を$S_n$とする。$S_n=j$ となる確率は、 \[ P[S_n=j] = _nC_j p^j(1-p)^{n-j} \] となることを示せ。 (3)　一次元酔歩問題を考える。原点から出発してコインを投げて 表が出れば右に一歩、裏が出れば左に一歩進む。n回コインを投げたとき 表が出た回数がkであれば裏はn-k回出たことになり、右に2k-n歩進んだ ことになる。n回コインを投げたとき右に$S_n=2k-n$歩進む確率は、 表が出る確率をpとすれば、 \[ P[S_n=2k-n] = _nC_k p^k(1-p)^{n-k} \] となることを示せ。 (4)　ある事象が単位時間当り平均 $\lambda$ の割合でランダムに 起こる。このとき、時間間隔 [0,t] の間にその事象が起こる回数を N(t) とする。 　　時間間隔 [0,t] をn個の小時間　$\delta=t/n$ に分割して、 次のことを仮定する。 　［１］　一つの小時間の間に２回以上事象が起こる確率は、 無視出来る。 　［２］　一つの小時間の間に事象が起きるかどうかは、 他の小時間の間に事象が起きたかどうかに無関係である。 このとき $p=\lambda \delta$ とすれば、(2)の問題の結果を 使える。 $n \rightarrow \infty$ とすれば、$N(t)=k$ となる 確率は、ポアッソン分布 \[ P[N(t)=k] = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t} \] で与えられることを示せ。このような確率過程をポアッソン過程 と呼ぶ。 (5)　ある窓口には、１時間に１５人の割合で客が来る。ある１時間の うち最初の１０分間に来た客が３人で、最後の１５分間に来た客が２人 である確率を求めよ。 (6)　問題(3)で、$\delta$ 秒に一回コインを投げ、一回の歩幅をhとする。 時間tには、$n=t/\delta$ 回コインを投げたことになる。このとき、 右に移動した距離を $X_{\delta}(t)$ とすれば、 \[ = 0 \\ <(X_{\delta}(t))^2> = h^2n \] となることを示せ。また、$h=\sqrt{\alpha \delta}$ の関係を 保って、$\delta \rightarrow 0, h \rightarrow 0$ の連続極限を とれば、 \[ =0 \\ <(X(t))^2>=\alpha t \] となることをしめせ。このとき、X(t)の確率密度関数は、 \[ P_{X(t)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\alpha t}}e^{-x^2/2\alpha t} \] となることをしめせ。 \end{document}