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\begin{document}

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\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large 物理学演習Ｂ　（第１回）} \\
１９９１年５月７日 （飯高） \\
スピン演算子 \\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item スピン演算子は、$S_z$の規格化した固有ベクトル$|+>$と$|->$を用いて、
\begin{eqnarray}        
S_x &=& \frac{\hbar}{2} \left( \ |+><-| + |-><+| \right) \\
S_y &=& \frac{i\hbar}{2} \left(-|+><-| + |-><+| \right) \\
S_z &=& \frac{\hbar}{2} \left( \ |+><+| - |-><-| \right)
\end{eqnarray}
と表される。[eq.(1.4.18)]
        \begin{enumerate}
        \item $|+>$と$|->$を基底ケットとして、$S_x,S_y,S_z$の行列表示を求めよ。
        \item $S_x$の固有値、固有ケットを求めよ。その状態で$S_z$を
        測定すると結果はどうなるか。
        \item 次の等式が成立することを示せ。
        \begin{equation}
        S_x^2=S_y^2=S_z^2=\frac{\hbar^2}{4} \left( \begin{array}{cc}
                                                   1&0 \\
                                                   0&1
                                                   \end{array} \right)
        \end{equation}
        \item 任意のスピン状態について、${\bf S}^2$を測定すると
        $\frac{3}{4}\hbar^2$という値が得られることを示せ。この結果を物理的に
        解釈せよ。
        \item $S_i$の反交換関係、
        \begin{equation}
        \left\{S_i,S_j\right\}=\frac{\hbar^2}{2} 
        \left( \begin{array}{cc}
                1&0 \\
                0&1
               \end{array} \right)
        \delta_{ij}
        \end{equation}
        および、角運動量演算子の交換関係
        \begin{equation}
        \left[S_i,S_j\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}S_k
        \end{equation}
        を証明せよ。
        \end{enumerate}

\item 極座標で$(\theta,\phi)$向きの単位ベクトルを${\bf n}$とする。
スピンの${\bf n}$方向に対する演算子${\bf S \cdot n}$に対する固有値、
固有ケットをもとめよ。

\end{enumerate}

\vfill
\vfill
\newpage

\begin{center}
{\large 物理学演習Ｂ　（第１回）} \\
１９９１年５月７日 （飯高） \\
スピン演算子［応用問題］\\
\end{center}
\begin{enumerate}

\item $Z$方向を向いた一様な磁場${\bf B}$中にある
電子（陽子）のハミルトニアンは、
\begin{equation}
H=-{\bf \mu\cdot B}=-\mu_zB_z=-\mu_B\frac{g_s}{\hbar}S_zB_z
\end{equation}
と書ける。$\mu_b=\frac{e\hbar}{2m_e}$はボーア磁子、$g=2.00$である。
陽子の場合は、
$\mu_b$を$\mu_N=\frac{e\hbar}{2m_p}$に、$g=5.59$に置き換えればよい。
\begin{enumerate}
        \item これらの系のエネルギー固有値と固有ケットを求めよ。
        \item 磁束密度$1(T)$をかけたとき、
        電磁波を吸収させて電子（陽子）のスピンを
        反転させて、基底状態（エネルギーの低い状態）
        から励起状態に励起させる。このときに必要な電磁波
        の周波数を求めよ。
        \item 電子スピン共鳴(ESR)、核磁気共鳴(NMR)について解説せよ。
\end{enumerate}

\item ２個のスピン$\frac{1}{2}$の粒子の全スピン角運動量を考える。
基底ケットととして各粒子に対するスピン演算子$S_z^{(1)}$と$S_z^{(2)}$の
同時固有ケット
\begin{equation}
\label{eq:kitei}
   |\uparrow\uparrow>,\ |\uparrow\downarrow>,\ 
   |\downarrow\uparrow>,\ |\downarrow\downarrow> 
\end{equation}
を使うことにする。
\begin{enumerate}
        \item ${\bf S^{(1)}, S^{(2)},S=S^{(1)}+S^{(2)},S^2}$の行列表現を
        求めよ。
        \item 全スピン角運動量${\bf S}$について、角運動量の交換関係
        \begin{equation}
        \left[S_i,S_j\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}S_k
        \end{equation}
        および
        \begin{equation}
        \left[{\bf S}^2,S_z \right]=0
        \end{equation}
        を証明せよ。
        \item 式(\ref{eq:kitei})の基底ケットが、$
        S_z$の固有ケットに成っていることを確かめよ。
        ${\bf S}^2$についてはどうか。
        \item ${\bf S}^2$の行列表現を求め、${\bf S}^2$の固有値を求めよ。
        \item ${\bf S}^2$と$S_z$の同時固有ケットを求めよ。
        \item 水素原子のスペクトルの超微細構造について解説せよ。 \\
        ［参考：The Feynman Lectures on Physics Vol.3 Chap.12］

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill
\vfill

%\end{document}
\clearpage
%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large 物理学演習Ｂ　（第２回）} \\
１９９１年５月１４日 （飯高） \\
測定、観測量、不確定性関係\\
\end{center}
\begin{enumerate}

\item 量子力学のある観測量は、次のような３×３行列で表現される：
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \left(
                   \begin{array}{ccc}
                   0 & 1 & 0 \\
                   1 & 0 & 1 \\
                   0 & 1 & 0 
                   \end{array}
                   \right)
\]
        \begin{enumerate}
        \item この観測量の規格化された固有ベクトルと、対応する固有値を求めよ。
        \item このような観測量に対応する物理系の例をあげよ。
        \end{enumerate}

\item ある２準位系がハミルトニアン
\[
H=H_{11}|1\rangle\langle1|
 +H_{22}|2\rangle\langle2|
 +H_{12} \left[ |1\rangle\langle2| \ +\  |2\rangle\langle1| \right]
\]
で記述されている。$H_{11}$、$H_{22}$および$H_{21}$は
エネルギーの次元の実数である。$|1\rangle$と$|2\rangle$は、
$H$以外の観測量の固有ケットである。エネルギー固有ケットと、
対応するエネルギー固有値を求めよ。答の正しいことを$H_{12}=0$
に対して求めよ。固有方程式を解いて回答してもよいし、
次の関係を用いて解いてもよい。
\begin{eqnarray}
\left( {\bf S \cdot n} \right) |{\bf n};+ \rangle
&=& \left(\frac{\hbar}{2}\right)|{\bf n};+ \rangle \nonumber \\
|{\bf n};+ \rangle &=& \cos\frac{\theta}{2}|+\rangle 
+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|-\rangle \nonumber
\end{eqnarray}

\clearpage

\item スピン$\frac{1}{2}$の原子線が、一連のシュテルン・ゲルラッハ
型測定装置を次のように通過する：
        \begin{enumerate}
        \item 第１の測定では$S_z=\hbar/2$の原子が選ばれ、
        $S_z=-\hbar/2$の原子は取り除かれる。
        \item 第２の測定では$S_{\bf n}=\hbar/2$の原子が選ばれ、
        $S_{\bf n}=-\hbar/2$の原子は取り除かれる。
        \item 第３の測定では$S_z=-\hbar/2$の原子が選ばれ、
        $S_z=\hbar/2$の原子は取り除かれる。
        \end{enumerate}
第１の測定後に残った$S_z=\hbar/2$の原子線の強度を１に規格化したとき、
最後の$S_z=-\hbar/2$の原子線の強度はいくらか。最後の$S_z=-\hbar/2$
の原子線の強度を最大にするには、第２の装置をどの方向に向けなければ
ならないか。

\item 時間に陽に依存しない二つの観測量$A_1$、$A_2$が交換しないことが
わかっている。
\[ [A_1,A_2] \neq 0 \]
一方また$A_1$、$A_2$は共にハミルトニアンと交換することもわかっている。
\[ [A_1,H]=0, \ \ \ [A_2,H]=0 \]
このエネルギー固有状態は、一般に縮退していることを示せ。
例外はあるか。中心力問題、$H=p^2/2m+V(r)$で、$A_1\rightarrow L_z$
$A_2\rightarrow L_x$とした場合を、例として考えるとよい。

%\clearpage

\begin{center}
静磁場（電磁気）\\
\end{center}


\item 真空中に電荷密度$\rho({\bf x},t)$
と電流密度${\bf j}({\bf x},t)$が分布しているときのMaxwellの方程式を書け。
\item スカラーポテンシャル $\phi({\bf r},t)$と
ベクトルポテンシャル${\bf A}({\bf r},t)$
を用いてMaxwellの方程式を書き換えよ。
\item 電磁場が時間変化しないときの$\phi({\bf r})$と${\bf A}({\bf r})$
が満たすべき微分方程式を求めよ。$\phi({\bf r})$の微分方程式の
グリーン関数を書け。$\phi({\bf r})$と${\bf A}({\bf r})$を
電荷密度$\rho({\bf r})$と電流密度${\bf j(r)}$を用いて表せ。
\item 太さが無視できる導線回路の場合の${\bf A(r)}$の
公式を導け。
\item 平面上の閉電流が遠方に作る磁場は、磁気双極子が遠方に作る磁場と
同じであることを示せ。
\item ［応用］ 閉電流が一平面上にのらない場合は、どうなるか。
遠方での磁束密度${\bf B(r)}$をもとめて、議論せよ。
［参考：電磁気学演習（砂川）］


\end{enumerate}




\vfill
\vfill

%\end{document}
%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large 物理学演習Ｂ　（第３回）} \\
１９９１年５月２１日 （飯高） \\
基底の変更、不確定性\\
\end{center}
\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate} 
        \item $S_z$を対角化する基底を、$S_x$を対角化する基底に変換する
              変換行列$U$を作れ。
        \item 答が一般的な関係式
        \[
         U=\sum_r |b^{(r)}\rangle \langle a^{(r)} |
        \]
        と一致することを示せ。
        \item $S_x$を対角化する基底での、$S_x$,$S_y$,$S_z$の行列表示を
        求めよ。
       \end{enumerate}

\item $f(A)$を、$A|a'\rangle=a'|a'\rangle$の性質を持つ
エルミート演算子$A$の関数とする。$a'$基底から$b'$基底への
変換行列がわかっているとき、$\langle b'' | f(A) | b' \rangle$
を計算せよ。

\item 真空中に電荷密度$\rho({\bf x},t)$
と電流密度${\bf j}({\bf x},t)$が分布しているときのMaxwellの方程式を書け。

\item スカラーポテンシャル $\phi({\bf x},t)$と
ベクトルポテンシャル${\bf A}({\bf x},t)$
を用いてMaxwellの方程式を書き換えよ。ただし、ローレンツ・ゲージ
$\nabla \cdot {\bf A}+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}=0$
をもちいよ。

\item この方程式の解は、遅延ポテンシャル
\begin{eqnarray}
\label{chien1}
\phi({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V d^3x' \ 
                    \frac{\rho({\bf x'},t-|{\bf x-x'}|/c)}{|{\bf x-x'}|} \\
\label{chien2}
{\bf A}({\bf x},t) &=& \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V d^3x' \ 
                    \frac{{\bf j}({\bf x'},t-|{\bf x-x'}|/c)}{|{\bf x-x'}|} 
\end{eqnarray}
であたえられる。

電荷の分布している領域が原点$O$付近に限られているとして、
「電気双極子近似」の範囲で電磁ポテンシャルが、
\begin{eqnarray}
\label{dip1}
\phi({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}
                   +\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{{\bf x\cdot p}(t_0)}{r^3}
      +\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{{\bf x\cdot} \dot{{\bf p}}(t_0)}{cr^2}
\\
\label{dip2}
{\bf A}({\bf x},t) &=& \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\dot{{\bf p}}(t_0)}{r} \\
               t_0 &=& t-|{\bf x}|/c
\end{eqnarray}
となることを示せ。
ここで、$Q$は電荷の総量、${\bf p}$は電荷分布の双極子モーメント
\begin{eqnarray}
Q &=& \int_V d^3x' \ \rho({\bf x'},t) \\
{\bf p}(t)&=& \int_V d^3x' \ {\bf x'} \rho({\bf x'},t)
\end{eqnarray}
である。

［ヒント］$r=|{\bf x}| \gg |{\bf x'}| $をつかって、
\[
R=|{\bf x - x'}|=r [1-\frac{{\bf x \cdot x'}}{r^2} \cdots]
\]
のように展開する。
\begin{center}
{\large ［応用問題］}
\end{center}

\item 水素原子のハミルトニアンは
\begin{equation}
H=\frac{p^2}{2m} - \frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{e}{r}
\end{equation}
である。
\begin{enumerate}
        \item 電子の広がりを$\Delta r$として不確定性原理を用いることにより、
        水素原子の基底状態の電子の広がりと束縛エネルギーを見積もれ。
        \item 点電荷$Z$のまわりに電子が一つ束縛されているときの
        基底状態の電子の広がりと束縛エネルギーを見積もり、電荷$Z$に
        どのように依存するか議論せよ。
        \item もしも、ポテンシャルが$-\frac{e}{r}$でなく、$-\frac{e}{r^2}$
        だったら、水素原子はどうなるか。
\end{enumerate}

\item 遅延ポテンシャルの式（\ref{chien1}）（\ref{chien2}）を
導け。

\item 電気双極子近似のポテンシャル（\ref{dip1}）（\ref{dip2}）を
用いて、遠方での電場、磁場をもとめよ。

\end{enumerate}

\vfill
\vfill

%\end{document}
%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ　（第４回）} \\
１９９１年５月２８日 （飯高） \\
平行移動\\
\end{center}
\begin{enumerate}

\item ブラ・ケット代数を用いて、次式を証明あるいは計算せよ。
\begin{enumerate}
        \item ${\rm tr}(XY)={\rm tr}(YX)$
        \item $(XY)^\dagger=(Y)^\dagger(X)^\dagger$
        \item $A$がエルミート演算子でその固有値がわかっているとき、
        　　　$\exp[i f(A)]$のブラ・ケット形式
        \item $|a'\rangle$が完備で
              $\phi_{a'}({\bf x'})=\langle{\bf x'} | a'\rangle$と書くとき、
        $\sum_{a'} \phi^*_{a'}({\bf x'})\phi_{a'}({\bf x''})$
\end{enumerate}
\item 有限の空間変位${\bf l}$を行う平行移動演算子は、
      ${\bf p}$を運動量の演算子として
        ${\cal T}({\bf l})=\exp \left(\frac{-i{\bf p \cdot l}}{\hbar} \right)$
      で与えられる。
      \begin{enumerate}
                \item $[x_i,{\cal T}({\bf l})]$
                を計算せよ。
                \item 上式または他の式を用いて、期待値$\langle {\bf x}\rangle$
                が平行移動によりどう変化するかを示せ。
      \end{enumerate}



\item 波動関数が、$\langle x' | a \rangle = \phi_a(x')$で
定義されることを思い出して、次式を証明せよ。
        \begin{enumerate}
        \item $ \langle \beta | \alpha \rangle =
                 \int dx' \phi^*_{\beta}(x') \phi_{\alpha}(x') $
        \item $ \langle \beta |A| \alpha \rangle =
                 \int dx' \int dx'' 
                 \phi^*_{\beta}(x') \langle x' |A| x'' \rangle 
                 \phi_{\alpha}(x'') $
        \item $ \langle \beta |x| \alpha \rangle =
                 \int dx' \phi^*_{\beta}(x') x' \phi_{\alpha}(x') $
        \end{enumerate}
        
\begin{center}
{\large ［電磁気］}
\end{center}
\item 電磁場の遅延ポテンシャルは、
\begin{eqnarray}
\label{chien1.1}
\phi({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V d^3x' \ 
                    \frac{\rho({\bf x'},t-|{\bf x-x'}|/c)}{|{\bf x-x'}|} \\
\label{chien2.1}
{\bf A}({\bf x},t) &=& \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V d^3x' \ 
                    \frac{{\bf j}({\bf x'},t-|{\bf x-x'}|/c)}{|{\bf x-x'}|} 
\end{eqnarray}
であたえられる。

電荷の分布している領域が原点$O$付近に限られているとして、
「電気双極子近似」の範囲で電磁ポテンシャルが、
\begin{eqnarray}
\label{dip1.1}
\phi({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}
                   +\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{{\bf x\cdot p}(t_0)}{r^3}
      +\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{{\bf x\cdot} \dot{{\bf p}}(t_0)}{cr^2}
\\
\label{dip2.1}
{\bf A}({\bf x},t) &=& \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\dot{{\bf p}}(t_0)}{r} 
\ \ \ \ \ \ \              t_0 = t-|{\bf x}|/c
\end{eqnarray}
となることを示せ。
ここで、$Q$は電荷の総量、${\bf p}$は電荷分布の双極子モーメント
$
Q = \int_V d^3x' \ \rho({\bf x'},t)
$
$
{\bf p}(t)= \int_V d^3x' \ {\bf x'} \rho({\bf x'},t)
$
である。

\item 電気双極子近似のポテンシャル（\ref{dip1.1}）（\ref{dip2.1}）を
用いて、遠方での電場、磁場が、
\begin{eqnarray}
{\bf E}({\bf x},t) &=&{\bf E}^{(s)}({\bf x},t)+
                      {\bf E}^{(0)}({\bf x},t)+
                      {\bf E}^{(1)}({\bf x},t)+
                      {\bf E}^{(2)}({\bf x},t)  \\
{\bf B}({\bf x},t) &=&{\bf B}^{(s)}({\bf x},t)+
                      {\bf B}^{(0)}({\bf x},t)+
                      {\bf B}^{(1)}({\bf x},t)+
                      {\bf B}^{(2)}({\bf x},t) 
\end{eqnarray}
と書けることを証明せよ。ただし、
\begin{eqnarray}
{\bf E}^{(s)}({\bf x}) &=& \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{{\bf x}}{r^3}\nonumber \\
{\bf B}^{(s)}({\bf x}) &=& 0 \nonumber \\
{\bf E}^{(0)}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{{\bf p}(t_0)}{r^3}+\frac{3{\bf x(x\cdot p}(t_0))}{r^5}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}^{(0)}({\bf x},t) &=& 0 \nonumber \\
{\bf E}^{(1)}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{\dot{{\bf p}}(t_0)}{cr^2}
        +\frac{3{\bf x(x\cdot \dot{p}}(t_0))}{cr^4}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}^{(1)}({\bf x},t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi} 
        \frac{\dot{{\bf p}}(t_0)\times{\bf x}}{r^3} \nonumber \\
{\bf E}^{(2)}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{\ddot{{\bf p}}(t_0)}{c^2r}
        +\frac{{\bf x(x\cdot \ddot{p}}(t_0))}{c^2r^3}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}^{(2)}({\bf x},t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi} 
        \frac{\ddot{{\bf p}}(t_0)\times{\bf x}}{cr^2} \nonumber \\
\end{eqnarray}

\vfill
\vfill

\end{enumerate}

%\end{document}
%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ　（第５回）} \\
１９９１年６月４日 （飯高） \\
ガウスの波束\\
\end{center}

波動関数$\phi_a(x)=\langle x| a \rangle$が
\[
\phi_a(x)=A \exp \left( -\frac{x^2}{2a^2} + ikx \right)
\]
と表される状態$a$にある質量$m$の粒子について、
次の問に答えよ。

\begin{enumerate}
\item $\langle a | a \rangle=1$になるように、規格化定数$A$を決めよ。

\item 粒子が局在している領域をもとめよ。
（波束の中心と幅をもとめる。）

\item この状態の運動量表示による波動関数$\phi_a(p)=\langle p| a \rangle$
を求めよ。また、この粒子の運動量が$(p,p+dp)$の間に見いだされる確率を
求めよ。

\item 粒子の位置および運動量の期待値$\langle x \rangle$、
$\langle p \rangle$を求めよ。

\item 粒子の位置および運動量の揺らぎ$\langle \Delta x^2 \rangle$、
$\langle \Delta p^2 \rangle$を求めよ。

\begin{flushleft}
{\bf ヒント}
\end{flushleft}
\[
\langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} 
\exp \left( \frac{ipx}{\hbar} \right)
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-ax^2} e^{ixy}
= \frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{y^2}{4a}}
\]

\begin{center}
{\large  電磁気学}
\end{center}


電気双極子近似を用いて、遠方での電場、磁場が、
\begin{eqnarray}
{\bf E}({\bf x},t) &=&{\bf E}^{(s)}({\bf x},t)+
                      {\bf E}^{(0)}({\bf x},t)+
                      {\bf E}^{(1)}({\bf x},t)+
                      {\bf E}^{(2)}({\bf x},t)  \\
{\bf B}({\bf x},t) &=&{\bf B}^{(s)}({\bf x},t)+
                      {\bf B}^{(0)}({\bf x},t)+
                      {\bf B}^{(1)}({\bf x},t)+
                      {\bf B}^{(2)}({\bf x},t) 
\end{eqnarray}
ただし、
\begin{eqnarray}
{\bf E}^{(s)}({\bf x}) &=& \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{{\bf x}}{r^3}\nonumber \\
{\bf B}^{(s)}({\bf x}) &=& 0 \nonumber \\
{\bf E}^{(0)}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{{\bf p}(t_0)}{r^3}+\frac{3{\bf x(x\cdot p}(t_0))}{r^5}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}^{(0)}({\bf x},t) &=& 0 \nonumber \\
{\bf E}^{(1)}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{\dot{{\bf p}}(t_0)}{cr^2}
        +\frac{3{\bf x(x\cdot \dot{p}}(t_0))}{cr^4}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}^{(1)}({\bf x},t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi} 
        \frac{\dot{{\bf p}}(t_0)\times{\bf x}}{r^3} \nonumber \\
{\bf E}^{(2)}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{\ddot{{\bf p}}(t_0)}{c^2r}
        +\frac{3{\bf x(x\cdot \ddot{p}}(t_0))}{c^2r^3}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}^{(2)}({\bf x},t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi} 
        \frac{\ddot{{\bf p}}(t_0)\times{\bf x}}{cr^2} \nonumber \\
\end{eqnarray}
と書ける。

\item 各項は遠方で$r$の何乗に比例するか。遠方で生き残るのはどの項か。

\item 遠方でのポインティング・ベクトルを求めよ。

\item 観測点に、単位立体角あたり単位時間あたりに届く
電磁波のエネルギーを求めよ。

\item 単位時間に全方向に放射されるエネルギーの合計が、
\[
\frac{1}{6\pi\epsilon_0c^3}[\ddot{p}(t_0)]^2
\]
となることを示せ。
\end{enumerate}
%\end{document}
%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ　（第６回）} \\
１９９１年６月１１日 （飯高） \\
１次元ポテンシャル問題 \\
［１］束縛状態
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 質量$m$の粒子が次のような１次元剛体壁ポテンシャルの中に
束縛されているとき、
以下の問に答えよ。
%\vspace{3cm}
\begin{equation}
V(x)=\left\{ \begin{array}{lr}
             0      & (0<x<L) \\
             \infty & (それ以外)
             \end{array} \right.
\end{equation}
\begin{enumerate}

\item ハミルトニアン演算子を
\begin{equation}
H=\frac{p^2}{2m} + V(x)
\end{equation}
として、時間に依存しないShr\"{o}dinger方程式
\begin{equation}
H|n \rangle=E_n|n \rangle
\end{equation}
を位置座標表示の波動関数をもちいて書き直せ。

\item 波動関数が満たすべき境界条件を書き出せ。

\item エネルギー固有状態の波動関数 
$
u_n(x)=\langle x|n \rangle
$ 
およびエネルギー固有値$E_n$を求めよ。

\item 第n励起状態$|n \rangle$(n=1,5,10)の位置スペクトルを図示せよ。


\item 位置の期待値$\langle x \rangle$と
ゆらぎ$\langle (\Delta x)^2 \rangle$を求めよ。
また、運動量の期待値$\langle p \rangle$と
ゆらぎ$\langle (\Delta p)^2 \rangle$を求めよ。

\item 変換関数$\langle p| x \rangle$を用いて
第n励起状態$|n \rangle$の運動量表示を求めよ。

\item 第n励起状態(n=1,5,10)にある粒子の運動量スペクトルを図示せよ。

\item エネルギー固有状態を基底ケットにとったときの行列要素
$
\langle n | x | n' \rangle
$
および
$
\langle n | p | n' \rangle
$
を求めよ。

\item このポテンシャル中にある粒子の状態が
\begin{equation}
u(x)=A(x+\frac{a}{2})(x-\frac{a}{2})
\end{equation}
で記述される場合のエネルギースペクトル、エネルギーの期待値、ゆらぎを
求めよ。また、この状態は固有状態のうちのどの状態に近いか定量的に述べよ。
\end{enumerate}

\item 質量$m$の粒子が次のような１次元ポテンシャルの中に
束縛されているとき、
以下の問に答えよ。
%\vspace{3cm}
\begin{equation}
V(x)=\left\{ \begin{array}{lrc}
             \infty & (x<0)           &      \\
             -V_0   & (0 \le x \le L) &領域１\\
             0      & (L<x)           &領域２\\
             \end{array} \right.
\end{equation}
ただし、$V_0>0$とする。

\begin{enumerate}
\item 領域１および領域２での波動関数の関数形を求めよ。

\item 波動関数が$x=0$,$x=L$,$x=\infty$で満たすべき境界条件を書け。

\item 束縛状態のエネルギー固有値$E$が満たすべき方程式を求めよ。

\item $V_0=\displaystyle \frac{8\pi^2\hbar^2}{27mL^2}$
のとき、粒子の束縛状態のエネルギーおよび波動関数を求めよ。

\item ポテンシャルの深さと束縛状態の数の関係を考察せよ。

\end{enumerate}


\end{enumerate}
%\end{document}

%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ　（第７回）} \\
１９９１年６月１８日 (飯高） \\
１次元ポテンシャル問題 \\
［２］調和振動子
\end{center}

\begin{center}
（入門編：べき級数展開）
\end{center}

質量$m$の粒子がばね定数$\frac{1}{2}m \omega^2$の
バネに束縛されているとき、以下の問に答えよ。
%\vspace{3cm}
\begin{enumerate}

\item 時間に依存しないShr\"{o}dinger方程式を
位置座標表示の波動関数をもちいて書け。

\item $ x \rightarrow \pm \infty$ での波動関数の漸近形を求めよ。

\item 無次元の変数
\begin{eqnarray}
z &=& \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \\
\gamma &=& \frac{2E}{\hbar \omega}
\end{eqnarray}
を使って、方程式をつぎの形に変形せよ。
\begin{equation}
\frac{d ^2 \phi}{dz^2}+(\gamma-z^2)\phi=0 
\end{equation}

\item $\phi(z)=N \ H(z) e ^{-z^2/ 2}$ と置くと、$H(z)$に対する
微分方程式が
\begin{equation}
\frac{d ^2H}{dz^2}-2z\frac{dH}{dz}+(\gamma-1)H=0
\end{equation}
となることを示せ。ただし、$N$ は規格化定数である。

\item $H(z)=z ^s \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 
a _k z ^k$とおいて、係数$a_k$が満たすべき漸化式が、

\begin{equation}
\label{eq:zenka}
(k+s)(k+s-1)a _k=(2k+2s-\gamma-3)a _{k-2}
\end{equation}
となることを示せ。
このとき、$a_k$は、$k$ が偶数のときのみ零でない。

\item $k=0$ のときの式(\ref {eq:zenka}) から、$s= 0$、または$s=1$ 
となることを示せ。

\item $a_k$が、けして0 にならないとすると、
\begin{equation}
\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{a _{k+2}}{a _k}
\rightarrow \frac{2}{k}
\end{equation}
となり、
\begin{eqnarray}
H(z) &\rightarrow& \exp(z ^2) \\ 
\phi(z) &\rightarrow& \exp(\frac{z ^2}{2}) 
\end{eqnarray}
となるので境界条件を満たさないことを示せ。

\item したがって、境界条件を満たすためには、漸化式(\ref {eq:zenka}) において
\begin{equation}
a_k=0 \ \ \ k \ge K 
\end{equation}
となる偶数$K$ が存在する必要がある。このことを用いて
\begin{equation}
\gamma=2n+1   
\end{equation}
(nは整数)
となることを証明せよ。また、エネルギ−固有値$E_n$を求めよ。

\item $n=0,1,2$ にたいする、$H_n(z)$ および
規格化されたエネルギ−固有関数$\phi _n(x)$ を求めよ。

\end{enumerate}

\begin{center}
（上級編：生成消滅演算子）
\end{center}

\begin{enumerate}

\item {\gt 消滅演算子}と{\gt 生成演算子}と呼ばれる無次元の演算子を定義する。
\begin{eqnarray}
a &=& \sqrt {\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left( x+\frac{ip}{m\omega}\right) \\
a ^{\dagger}&=& \sqrt {\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left( x-\frac{ip}{m\omega}\right) 
\end{eqnarray}
交換関係$[a,a ^{\dagger}]$を求めよ。

\item 位置$x$,運動量$p$ を生成消滅演算子を用いて表せ。

\item ハミルトニアン$H$ を{\gt 数演算子}$N=a^  {\dagger}a$
を用いて表せ。
また、$N$がエルミート演算子であることを示せ。

\item 交換関係$[N,a ]$,$[N,a^  {\dagger}]$ を求めよ。

\item 演算子$N$ の固有ケットを
$
N ｜n \rangle = n ｜n \rangle 
$
とするとき、
\begin{eqnarray}
N (a｜n \rangle) &=& (n-1)｜(a｜n\rangle) \\
N (a^  {\dagger}｜n \rangle) &=& (n+1)｜(a^  {\dagger}｜n\rangle) 
\end{eqnarray}
を証明せよ。

\item 規格化された固有ケット$ ｜n \rangle$について、
\begin{eqnarray}
a ｜n \rangle &=& \sqrt {n}｜n-1 \rangle \\
a ^{\dagger}  ｜n \rangle &=& \sqrt {n+1}｜n+1 \rangle 
\end{eqnarray}
を証明せよ。

\item 級数展開を使って求めた$\phi _0(x)=\langle x  ｜0\rangle$ が、
\begin{equation}
a ｜0 \rangle = N ｜0\rangle = 0
\end{equation}
を満たすことを確かめよ。

\item 一般に　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \
\begin{equation}
｜n\rangle = \frac{(a  ^{\dagger}) ^n}{\sqrt {n!}}｜0 \rangle 
\end{equation}
と書けることを証明せよ。

\end{enumerate}

\begin{center}
（応用編：行列要素）
\end{center}

\begin{enumerate}

\item エルミ−ト関数を使った方法と、生成消滅演算子を使った方法の
両方で、つぎの行列要素を求めよ。

\[
\begin{array}{cc}
\langle m  ｜x ｜n\rangle    & \langle m  ｜p ｜n\rangle \\ 
\langle m  ｜x ^2 ｜n\rangle & \langle m  ｜p ^2 ｜n\rangle \\
\langle m  ｜ a｜ n \rangle &  \langle m ｜a^{\dagger} ｜ n \rangle
\end{array}
\]

\item 調和振動子の固有状態について、ビリアル定理
\begin{eqnarray}
\langle n ｜\frac{p ^2}{2m}｜n \rangle &=& \frac{1}{2}E _n \\
\langle n ｜\frac{1}{2}m\omega ^2x^2 ｜n \rangle 
&=& \frac{1}{2}E _n 
\end{eqnarray}
が成り立つことを示せ。

\end{enumerate}


\begin{center}
（数学編：エルミ−ト多項式） 
\end{center}

\begin{enumerate}

\item エルミ−ト多項式として、
\begin{equation}
\label{eq:dhn}
H _n(z)=(-1) ^n e ^{z ^2}\frac{d ^n}{dz^n} e^  {-z^2}
\end{equation}
で定義したものがよく使われる。
これが、微分方程式
\begin{equation}
\label{eq:diff}
\frac{d ^2H}{dz^2}-2z\frac{dH}{dz}+2nH=0
\end{equation}
の解になっていることを確かめよ。

\item 式(\ref {eq:dhn}) より、$H_n(z)$ を$n=0,1,2,3$ について求めよ。

\item エルミート多項式が、
\begin{eqnarray}
\label{eq:zen1}
\frac{dH_n}{dz}&=&2nH_n \\ 
\label{eq:zen2}
H _{n+1}-2zH_n+2nH _{n-1}&=&0
\end{eqnarray}
の漸化式を満たすことを示せ。

\item 漸化式（\ref{eq:zen1}）、（\ref{eq:zen2}）を満たせば、
$H_n$は、微分方程式（\ref{eq:diff}）を満たすことを証明せよ。

\item エルミート多項式は、母関数
\begin{equation}
\label{eq:dhn2}
F(z,s)=\exp(-s^2+2sz)=\sum _{n=0}^  {\infty}
\frac{H _n(z)}{n!}s ^n 
\end{equation}
の展開係数$H_n(z)$ としても定義できる。
このように定義した$H_n(z)$ が微分方程式(\ref{eq:diff})を満たすことを証明せよ。

\item 式(\ref {eq:dhn2}) より、$H_n(z)$ を$n=0,1,2,3$ について求めよ。

\item 式（\ref{eq:dhn2}）で定義したエルミート関数が、漸化式（\ref{eq:zen1}）,
（\ref{eq:zen2}）を満たすこと、
したがって、微分方程式を（\ref{eq:diff}）を満たすことを示せ。

\item 母関数を用いてエルミ−ト関数の規格直交性
\begin{equation}
\int_{-\infty}^  {\infty}dz \ \  H _m(z)H _n(z)e ^{-z^2}
=\sqrt{\pi}2 ^n n! \delta _{mn}
\end{equation}
を証明せよ。

\item 波動関数$\phi_n(x)$ の規格化定数$N$ を求めよ。

\end{enumerate}


%\end{document}


%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ　（第８回）} \\
１９９１年６月２５日 （飯高） \\
\end{center}

\begin{center}
（１次元散乱問題）\\
\end{center}


\begin{enumerate}

\item $|\phi(x)|^2dx=\phi(x)\phi^*(x)dx$ は、粒子が区間 $[x,x+dx]$
に見いだされる確率を与える。
時間に依存したSchr\"{o}dinger方程式
\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}= H\phi(x,t)
\end{equation}
を用いて、{\gt 確率密度の保存則}
\begin{equation}
\frac{\partial |\phi|^2}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf j}=0
\end{equation}
を１次元の場合について証明せよ。
ただし、${\bf j}$は、３次元の場合
\begin{equation}
{\bf j}=\frac{i\hbar}{2m} \left( \phi\nabla\phi^* -\phi^*\nabla\phi \right)
\end{equation}
で定義される{\gt 流束}（流れの密度）の演算子である。

\item 質量$m$の粒子が次のような１次元ポテンシャルに$x=-\infty$から
エネルギー$E$で入射するとき、{\gt 透過率}と{\gt 反射率}を求めよ。
また、透過率のエネルギー依存性を図示せよ。
ここで、透過率Ｔは入射粒子の流束に対する透過波の流束の比と定義する。

\begin{enumerate}
\item
\begin{equation}
V(x)=\left\{ \begin{array}{lr}
             0      & (x<0) \\
             V_0    & (x>0)
             \end{array} \right.
\end{equation}

\item
\begin{equation}
V(x)=\left\{ \begin{array}{lr}
             0      & (|x| > a) \\
             V_0    & (|x| \leq a)
             \end{array} \right.
\end{equation}
\end{enumerate}

\item ［応用］半導体中に作られた次のような１次元ポテンシャルに電子が
$x=-\infty$から
エネルギー$E$で入射する。ポテンシャル$V_0$は電極にかかる電圧を制御することで
自由に変えられる。透過率の$V_0$に対する依存性を図示せよ。このような半導体素子
にはどのような応用が考えられるか。
\begin{equation}
V(x)=\left\{ \begin{array}{lr}
             0      & (|x| > b > a ) \\
             V_1    & ( b> |x| > a) \\
             V_0    & ( b> a> |x| )
             \end{array} \right.
\end{equation}
ただし、$V_1 \gg E>0>V_0$とする。
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
（３次元問題）
\end{center}
\begin{enumerate}

\item ３次元の等方調和振動子
\begin{equation}
V(x,y,z)=\frac{m\omega^2}{2} \left( x^2+y^2+z^2 \right) 
\end{equation}
の固有エネルギー、エネルギー固有関数を直交座標系を用いて
求めよ。

\item 質量$m$の粒子が、１辺の$L$の大きな箱の中に閉じこめられている。

\begin{enumerate}
\item 周期的境界条件
\begin{equation}
\phi(x+L,y,z)=
\phi(x,y+L,z)=
\phi(x,y,z+L)=\phi(x,y,z)
\end{equation}
を用いてエネルギー固有関数およびエネルギー固有値を
求めよ。


\item N個の自由電子が１辺の$L$の大きな箱の中に閉じこめられている。
（これを{\gt 自由電子ガス}とよぶ。）
電子は、フェルミ粒子なので同一の状態を２個以上の電子が占めることはできない。
そこで、系の基底状態では、波数空間上で$|{\bf k}|<k_F$
（$k_F$はフェルミ波数）で表される球内のひとつひとつの状態を１個の
電子が占めている。単位体積当たりの電子の個数が$n$のときのフェルミ波数を求めよ。
ただし、一つの波数${\bf k}$に対してスピン上向きと下向きの二つの状態が
あることに注意せよ。

\item フェルミ波数を持った電子のエネルギーをフェルミエネルギーという。
フェルミエネルギーを求めよ。

\item {\gt 状態密度}が
\begin{equation}
D(E)=\frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E}
\end{equation}
となることを示せ。状態密度とは、$D(E)dE$が区間
$[E,E+dE]$の間のエネルギーを固有値に持つ状態の数を表す関数である。
\end{enumerate}

\item ［応用］{\gt Fermi-Dirac分布関数}をつかって、自由電子ガスの比熱を求めよ。
古典論と比較し結果を物理的に考察せよ。

\item ［応用］
\begin{enumerate}
\item 太陽の質量を$M=2 \times 10^{33} \ (g) $とするとき、
太陽に存在する電子の総数を推定せよ。

\item もし、上の数の電子が半径１０ｋｍのパルサー星のなかに閉じこめられて
いるとして、電子のフェルミエネルギーを求めよ。

\item パルサー星は、おもに中性子から出来ていると考えられる。
反応$n \rightarrow p + e^-$の際に放出されるエネルギーが
$0.8 \times 10^{6} (eV)$であることを考慮してこのことを説明せよ。

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%「参考文献」
%キッテル著「固体物理学入門」
%丸善
%


%\end{document}

%\begin{enumerate}
%\item 周期的境界条件
%\begin{eqnarray}
%\phi(x+L,y,z)&=&\phi(x,y,z) \\
%\phi(x,y+L,z)&=&\phi(x,y,z) \\
%\phi(x,y,z+L)&=&\phi(x,y,z)
%\end{eqnarray}
%を用いてエネルギー固有関数およびエネルギー固有値を
%求めよ。

%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第９回）} \\
１９９１年７月２日 (飯高） \\
\end{center}

\begin{center}
（量子力学）
\end{center}

\begin{center}
水素原子
\end{center}

中心力場中での粒子の運動を考える。運動エネルギーは動径成分と回転成分に
分けられ、
\begin{equation}
\label{eq:t}
\frac{{\bf p}^2}{2m}=\frac{p_r^2}{2m} + \frac{{\bf L}^2}{2mr^2}
\end{equation}
となるので、ハミルトニアン$H$は極座標表示で
\begin{equation}
H=-\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2 \ }{\partial r^2} 
                            +\frac{2}{r} \frac{\partial \ }{\partial r} \right)
                            + \frac{{\bf L}^2}{2mr^2} + U(r)
\end{equation}
と書ける。ただし、${\bf L}$は{\gt 軌道角運動量演算子}で
\begin{equation}
{\bf L = r \times p}
\end{equation}
で定義され、極座標では
\begin{eqnarray}
\label{eq:l1}
L_x &=& -i\hbar \left( y\frac{\partial \ }{\partial z} 
                     - z\frac{\partial \ }{\partial y} \right)
     = i\hbar \left( \sin\phi\frac{\partial \ }{\partial\theta}
                     +\cot\theta\cos\phi\frac{\partial \ }{\partial\phi}
                     \right) \\
\label{eq:l2}
L_y &=& -i\hbar \left( z\frac{\partial \ }{\partial x} 
                     - x\frac{\partial \ }{\partial z} \right)
     = i\hbar \left( -\cos\phi\frac{\partial \ }{\partial\theta}
                     +\cot\theta\sin\phi\frac{\partial \ }{\partial\phi}
                     \right) \\
\label{eq:l3}
L_z &=& -i\hbar \left( x\frac{\partial \ }{\partial y} 
                     - y\frac{\partial \ }{\partial x} \right)
     = - i\hbar \left( \frac{\partial \ }{\partial \phi}
                     \right)  \\
\label{eq:l4}
{\bf L}^2 &=& L_x^2 + L_y^2 + L_z^2
           = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} 
\frac{\partial \ }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial \ }
{\partial\theta}\right) 
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 \ }{\partial\phi^2} \right]
\end{eqnarray}
と表される。


\begin{enumerate}

\item 水素原子のエネルギー固有状態の波動関数を
$
\phi({\bf r})=R(r) Y_l^m(\theta,\phi)
$
と変数分離して$R(r)$に対する方程式を求めよ。
ただし、$\langle \theta,\phi | l,m \rangle = Y_l^m(\theta,\phi)$は
${\bf L}^2$と$L_z$の同時固有関数
\begin{equation}
\begin{array}{lrcl}
{\bf L}^2 Y_l^m(\theta,\phi)= l(l+1)\hbar^2 \ Y_l^m(\theta,\phi) &
(l&=&0,1,2,3, \cdots) \nonumber \\
L_z Y_l^m(\theta,\phi)= m\hbar \ Y_l^m(\theta,\phi) &
(m&=&l,l-1,l-2,\cdots,-l)
\end{array}
\nonumber
\end{equation}
であり、つぎの直交規格化条件
\begin{equation}
\langle l',m' | l,m \rangle =
\int d\Omega \left(Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)\right)^* Y_l^m(\theta,\phi)
=\delta_{l',l} \delta_{m',m} \\
\end{equation}
および完備性
\begin{eqnarray}
\sum_{l,m} | l,m \rangle \langle l,m | &=& {\bf 1} \\
\sum_{l,m} Y_l^m(\theta,\phi) Y_l^{m*}(\theta',\phi') &=& 
\delta(\cos\theta - \cos\theta') \delta(\phi-\phi')
\end{eqnarray}
を満たす。

\item 無次元の変数 
$
\rho = \displaystyle\sqrt{\frac{8m|E|}{\hbar^2}} \  r 
$,
$
\lambda = \displaystyle\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar} \sqrt{\frac{m}{2|E|}}
$
を使って、$R(\rho)$に対する方程式が次の形になることを示せ。
\begin{equation}
\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2\frac{dR}{d\rho} \right)
+\left( \frac{\lambda}{\rho}-\frac{1}{4}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}  \right)R
=0
\nonumber
\end{equation}

\item $ \rho \rightarrow \infty$ で$R(\rho) \sim \exp(-\rho/ 2)$と
なることを示せ。また、$ \rho \rightarrow 0$ で
$R(\rho)\sim \rho^l$となることを示せ。

\item $R(\rho)=N \ L(\rho) \rho^l e ^{-\rho/ 2}$ と置くと、$L(\rho)$の
微分方程式が次の形に
なることを示せ。$N$は規格化定数である。
\begin{equation}
\rho\frac{d ^2L}{d\rho^2}+[2(l+1)-\rho]\frac{dL}{d\rho}+(\lambda-l-1)L=0
\nonumber
\end{equation}

\item $L(\rho)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 
a _k \rho^k$とおいて、係数$a_k$が次の漸化式を満たすことを示せ。
ただし、$a_0$は零でない。
\begin{equation}
\label{eq:zenka.1}
(k+1)(k+2l+2)a_{k+1}=(k+l+1-\lambda)a_k
\nonumber
\end{equation}

\item 有限の$k$に対して$a_k$がけして0 にならないとすると、
$
\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{a _{k+1}}{a _k}
\rightarrow \frac{1}{k}
$
となり、
$
L(\rho) \rightarrow \exp(\rho)
$,
$
\displaystyle\phi(\rho) \rightarrow \exp(\frac{\rho}{2}) 
$
となるので境界条件を満たさないことを示せ。

\item したがって、境界条件を満たすためには、漸化式(\ref {eq:zenka.1}) において
$a_{k+1}=0$となる非負の整数$k$が存在する必要がある。
このことからエネルギー固有値が
$
E_n=-\displaystyle\frac{me^4}{32\pi^2\epsilon^2\hbar^2n^2}
$
(nは正の整数)
となることを証明せよ。

\item $n=1,2$ に対する、$L_{n,l}(\rho)$ および
$\phi _{nlm}(r,\theta,\phi)$ を全て求めよ。
規格化定数は$N$のままでよい。

\item ［数学］式(\ref{eq:l1})-(\ref{eq:l4})および式(\ref{eq:t})を
証明せよ。

%\item $Y_l^m(\theta,\phi) = \langle \theta,\phi | l,m \rangle$
%として、次の行列要素を求めよ。
%$\langle l',m' | x-iy | l, m \rangle$
%$\langle l',m' | x+iy | l, m \rangle$
%$\langle l',m' |   z  | l, m \rangle$ 

\end{enumerate}

% \newpage

\begin{center}
（電磁気学）
\end{center}


原点にある電気双極子が波動域内の点${\bf x}$につくる電磁場は、
\begin{eqnarray}
{\bf E}({\bf x},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
        \left[ -\frac{\ddot{{\bf p}}(t_0)}{c^2r}
        +\frac{{\bf x(x\cdot \ddot{p}}(t_0))}{c^2r^3}
        \right] \nonumber \\
{\bf B}({\bf x},t)&=&\frac{\mu_0}{4\pi} 
        \frac{\ddot{{\bf p}}(t_0)\times{\bf x}}{cr^2} \nonumber \\
             t_0 &=& t-|{\bf x}|/c
\end{eqnarray}
と書ける。これを用いて以下の問に答えよ。

\begin{enumerate}


\item 原点にあってz 軸方向に角振動数$\omega$で振動している双極子${\bf p}(t)$
から放射される電磁波の強度の角度分布を求め、図示せよ。

\item $x=+\infty$ の方向からこの双極子を見たときの電磁波の偏光を調べよ。

\item 全放射強度を求めよ。

\item 電荷e の粒子が半径r、角速度$\omega$で原点を中心に
x-y 平面上を等速円運動して
いる。$x=+\infty$ の方向からこの双極子を見たときの電磁波の偏光を調べよ。また、$z=+\infty$ の方向から見たときの偏光を調べよ。

%\item 水素原子の基底状態にある電子が古典力学と電磁気学に従う
%と仮定した場合、水素原子が放射によって潰れてしまうまでの時間を概算せよ。

\end{enumerate}

%\end{document}

%\begin{flushleft}
%（参考）
%\end{flushleft}
%\[
%\begin{array}{|lll|} \hline
%電子の電荷の大きさ&e&1.60\times10^{-19}\ (C)\\
%電子の質量&m&9.11\times10^{-31}\ (kg)\\
%光速&c&3.00\times 10^8 \ (m/s) \\
%真空の誘電率&\epsilon_0&8.85\times 10^{-12} \ (F/m)\\
%真空の透磁率&\mu_0&1.26\times 10^{-7} \ (H/m) \\
%Plank定数&\hbar&1.05\times 10^{-34} \ (J \cdot s) \\
%\hline
%\end{array} 
%\]


%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１０回）} \\
１９９１年７月９日 (飯高） \\
\end{center}

\begin{center}
（角運動量：ＪＪ３．５節）
\end{center}


角運動量${\bf J}$を無限小回転の生成演算子として定義すると、
${\bf J}$はつぎの{\gt 角運動量の基本的交換関係}を満たす。
［ＪＪ３．１節参照］
\begin{equation}
\left[ J_i, J_j \right] = i \hbar \epsilon_{ijk} J_k
\end{equation}

\begin{enumerate}

\item 新しい演算子${\bf J}^2$を
\begin{equation}
{\bf J}^2 = J_xJ_x + J_yJ_y + J_zJ_z
\end{equation}
で定義すると
\begin{equation}
\left[ {\bf J}^2, J_k \right] = 0, \ \ \ \ \ (k=1,2,3,)
\end{equation}
となることを示せ。

この交換関係から、${\bf J}^2$と$J_z$との同時固有ケットが存在する。
\begin{eqnarray}
{\bf J}^2 |a,b\rangle &=& a |a,b\rangle \\
J_z |a,b\rangle &=& b |a,b\rangle
\end{eqnarray}

\item さらに{\gt はしご演算子}$J_+$,$J_-$を
\begin{eqnarray}
J_{+}&=& J_x+iJ_y \nonumber \\
J_{-}&=& J_x-iJ_y \nonumber 
\end{eqnarray}
で定義する。つぎの交換関係を証明せよ。
\begin{eqnarray}
\left[ {\bf J}^2, J_{\pm} \right] &=& 0 \\
\left[ J_+, J_- \right] &=& 2\hbar J_z \\
\left[ J_z, J_{\pm} \right] &=& \pm \hbar J_{\pm} 
\end{eqnarray}

\item つぎの式を証明せよ。
\begin{eqnarray}
J_z \left( J_{\pm}|a,b\rangle \right) 
  &=& (b \pm \hbar) \left( J_{\pm}|a,b\rangle \right) \\
{\bf J}^2 \left( J_{\pm}|a,b\rangle \right) 
  &=& a \left( J_{\pm}|a,b\rangle \right) 
\end{eqnarray}

このことから、
\begin{equation}
J_{\pm}|a,b\rangle = c_{\pm} |a,b \pm \hbar \rangle
\end{equation}
となることがわかる。ただし、$c_{\pm}$は規格化定数である。


\item ある決まった${\bf J}^2$の固有値$a$にたいして、
$J_z$の固有値$b$がとれる値には$a \ge b^2$という制限があることを,
つぎの式を証明することによって示せ。
\begin{eqnarray}
{\bf J}^2-J_z^2 &=& \frac{1}{2} \left( J_+J_+^{\dagger} + J_+^{\dagger}J_+
                                \right) \\
\langle a,b, | J_+J_+^{\dagger}| a,b, \rangle &\ge& 0 \\
\langle a,b, | J_+^{\dagger}J_+| a,b, \rangle &\ge& 0 \\
\langle a,b, | \left( {\bf J}^2-J_z^2 \right) | a,b, \rangle &\ge& 0    
\end{eqnarray}

\item したがって、固有値$b$には最大値$b_{max}$があって
\begin{eqnarray}
J_+|a,b_{max}\rangle&=&0 \\
J_-J_+|a,b_{max}\rangle&=&0 \\
({\bf J}^2-J_z^2-\hbar J_z)|a,b_{max}\rangle&=&0 \\
\end{eqnarray}
となることを示せ。また、
\begin{equation}
a=b_{max}(b_{max}+\hbar)
\end{equation}
となることを示せ。

\item 前問と同様にして、固有値$b$には最小値$b_{min}$があって
\begin{equation}
a=b_{min}(b_{min}-\hbar)
\end{equation}
となることを示せ。

\item 以上のことから、
\begin{eqnarray}
b_{max}&=&-b_{min} \\
-b_{max} \le &b& \le b_{max} \\
b_{max}&=&b_{min}+n\hbar \ \ \ \ （nは整数）\\
b_{max}&=&\frac{n}{2}\hbar
\end{eqnarray}
となることを説明せよ。

\item $b_{max}$と$b$の代わりに、
\begin{eqnarray}
j &=& \frac{b_{max}}{\hbar} = \frac{n}{2} \\
m &=& \frac{b}{\hbar}
\end{eqnarray}
という量子数を導入する。$j$は整数か半整数かである。$j$が整数のときは
$m$はすべて整数であり、$j$が半整数のときは$m$はすべて半整数である。

次の式を導け。
\begin{eqnarray}
{\bf J}^2 |j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j,m\rangle 
\ \ \ \ j=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\cdots \\
J_z |j,m\rangle = m\hbar |j,m\rangle 
\ \ \ \ m=-j,-j+1,\cdots,j-1,j 
\end{eqnarray}

\item はしご演算子に関するつぎの式を導け。
\begin{eqnarray}
J_+|j,m\rangle &=& \sqrt{(j-m)(j+m+1)}\hbar|j,m+1\rangle \\
J_-|j,m\rangle &=& \sqrt{(j+m)(j-m+1)}\hbar|j,m-1\rangle 
\end{eqnarray}
\end{enumerate}

\begin{center}
（軌道角運動量：ＪＪ３．６節）
\end{center}


{\gt 軌道角運動量演算子}${\bf L}$は
\begin{equation}
{\bf L = r \times p}
\end{equation}
で定義され、
極座標では
\begin{eqnarray}
\label{eq:l1.1}
L_x &=& -i\hbar \left( y\frac{\partial \ }{\partial z} 
                     - z\frac{\partial \ }{\partial y} \right)
     = i\hbar \left( \sin\phi\frac{\partial \ }{\partial\theta}
                     +\cot\theta\cos\phi\frac{\partial \ }{\partial\phi}
                     \right) \\
\label{eq:l2.1}
L_y &=& -i\hbar \left( z\frac{\partial \ }{\partial x} 
                     - x\frac{\partial \ }{\partial z} \right)
     = i\hbar \left( -\cos\phi\frac{\partial \ }{\partial\theta}
                     +\cot\theta\sin\phi\frac{\partial \ }{\partial\phi}
                     \right) \\
\label{eq:l3.1}
L_z &=& -i\hbar \left( x\frac{\partial \ }{\partial y} 
                     - y\frac{\partial \ }{\partial x} \right)
     = - i\hbar \left( \frac{\partial \ }{\partial \phi}
                     \right)  \\
\label{eq:l4.1}
{\bf L}^2 &=& L_x^2 + L_y^2 + L_z^2
           = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} 
\frac{\partial \ }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial \ }
{\partial\theta}\right) 
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 \ }{\partial\phi^2} \right]
\end{eqnarray}
と表される。


また、${\bf L}^2$と$L_z$の同時固有関数
\begin{equation}
\begin{array}{lrcl}
{\bf L}^2 |l,m \rangle = l(l+1)\hbar^2 |l,m\rangle &
(l&=&0,1,2,3, \cdots) \nonumber \\
L_z |l,m\rangle = m\hbar |l,m\rangle &
(m&=&l,l-1,l-2,\cdots,-l)
\end{array}
\nonumber
\end{equation}
として{\gt 球面調和関数}
$Y_l^m(\theta,\phi)=\langle \theta,\phi | l,m \rangle$が定義される。

球面調和関数は、つぎの直交規格化条件
\begin{equation}
\langle l',m' | l,m \rangle =
\int d\Omega \left(Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)\right)^* Y_l^m(\theta,\phi)
=\delta_{l',l} \delta_{m',m} \\
\end{equation}
および完備性
\begin{eqnarray}
\sum_{l,m} | l,m \rangle \langle l,m | &=& {\bf 1} \\
\sum_{l,m} Y_l^m(\theta,\phi) Y_l^{m*}(\theta',\phi') &=& 
\delta(\cos\theta - \cos\theta') \delta(\phi-\phi')
\end{eqnarray}
を満たす。

\begin{enumerate}
\item ${\bf L}$が{\gt 角運動量の基本的交換関係}
\begin{equation}
\left[ L_i, L_j \right] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k
\end{equation}
を満たすことを確かめよ。
\item 球面調和関数の満たすべき連立偏微分方程式を求めよ。
また、$Y_l^m(\theta,\phi)$の$\phi$依存性が$e^{im\phi}$のようであることを
示せ。

\item $Y_l^m(\theta,\phi)$の具体形を$m=l$の場合に求める。
\begin{equation}
L_+ |l,l\rangle =0
\end{equation}
より、
\begin{equation}
\langle \theta,\phi|l,l\rangle = Y_l^l(\theta,\phi) 
= c_le^{il\phi}\sin^l\theta
\end{equation}
を導け。ただし$c_l$は規格化定数で
\begin{equation}
c_l=\left[ \frac{(-1)^l}{2^ll!}\right]
\sqrt{\frac{(2l+1)(2l)!}{4\pi}}
\end{equation}
である。

\item 一般の$m$の場合は、はしご演算子の関係式
\begin{equation}
| l, m-1\rangle = \frac{L_-|l,m\rangle}{\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar}
\end{equation}
を用いて求められる。
$l=0,1$の場合についてすべての球面調和関数を求めよ。

\item ［数学］式（\ref{eq:l1}）−式（\ref{eq:l4}）を証明せよ。

\item ［数学］一般の球面調和関数がつぎのように表せることを示せ。

$m\ge0$のとき、
\begin{equation}
Y_l^m(\theta,\phi) = \frac{(-1)^l}{2^ll!}
\sqrt{\frac{(2l+1)(l+m)!}{4\pi(l-m)!}} e^{im\phi}\frac{1}{\sin^m\theta}
\frac{d^{l-m}}{d(\cos\theta)^{l-m}} (\sin\theta)^{2l}
\end{equation}
$m<0$のとき、
\begin{equation}
Y_l^m(\theta,\phi) = (-1)^{-m} \left[ Y_l^{-m}(\theta,\phi) \right]^*
\end{equation}

\end{enumerate}
%\end{document}

%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１１回）} １９９１年９月１７日 (飯高） \\
\end{center}
%\begin{center}
%（時間発展：ＪＪ２．１節）
%\end{center}


問１　一個の電子が、z-軸の正方向の強さ$B$の一様な定常的磁場中にあると
する。この電子は$t=0$で、固有値$(+\hbar/2)$を持つ$\vec{S}\cdot\vec{n}$の
固有状態にあった。ここで、$\vec{n}$は単位ベクトルで、xz-平面内にあり
z-軸と$\beta$の角度をなしている。
\begin{enumerate}
\item 電子を$S_x=\hbar/2$の状態に見いだす確率を時間の関数として求めよ。
\item $S_x$の期待値を時間の関数として求めよ。
\item 確認のために極端な場合、(i)$\beta \rightarrow 0$、および
(ii)$\beta \rightarrow \pi/2$に物理的に意味のある答えになっていることを
示せ。
\end{enumerate}


問２　一個の粒子を入れた箱が、薄い隔壁で左右の部屋に分かれている。粒子が
確実に右（または左）側にいることが分かっているとき、状態を位置固有ケット
$|R\rangle$（または$|L\rangle$）で表すことにする。ここで粒子が半分の
箱の中のどこにいるかは問題にしない。このときもっとも一般的な状態ベクトルは
\[
|\alpha\rangle=|R\rangle \langle R|\alpha\rangle +
|L\rangle \langle L|\alpha\rangle
\]
のように表される。$\langle R|\alpha\rangle$と$\langle L|\alpha\rangle$は
”波動関数”とみなすことができる。粒子は隔壁を通ってトンネル運動することが
できるとし、このトンネル効果をハミルトニアン
\[
H=\Delta (|L \rangle\langle R|+|R \rangle\langle L|)
\]
で記述する。ここで$\Delta$はエネルギーの次元を持った実数である。
\begin{enumerate}
\item 規格化されたエネルギー固有ケットを見いだせ。対応するエネルギー固有値は
いくらか。
\item 
%シュレーディンガー表示では基底ケット$|R\rangle$および$|L\rangle$は
%固定されていて、状態ベクトルが変化する。
系が$t=0$で上述のエネルギー固有ケット$|\alpha\rangle$によって表されていたとする。
$|\alpha\rangle$に適当な時間発展演算子をかけることにより、
$t>0$に対して状態ベクトル$|\alpha,t_0=0;t\rangle$を見いだせ。
\item $t=0$で粒子が確かに右にいたとせよ。粒子を左側で観測する確率は、
時間の関数としてどうなるか。
\item 波動関数$\langle R|\alpha,t_0=0;t\rangle$および
$\langle L|\alpha,t_0=0;t\rangle$に対する連立シュレーディンガー方程式を
書け。この連立シュレーディンガー方程式の解は、(2)から求められるものと
同じであることを示せ。
\item 印刷屋がミスをして$H$を
\[
H= \Delta \ | L \rangle\langle R|
\]
と書いたとしよう。このハミルトニアンで時間的発展をする問題を
もっとも一般的にとき、確率の保存が破られていることを示せ。
\end{enumerate}

%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１２回）} \\
１９９１年９月２４日 (飯高・八柳） \\
\end{center}

%\renewcommand{\vec}[1]{${\boldmath #1 }$}

\begin{center}
（ハイゼンベルグ表示：ＪＪ２．２節）
\end{center}

問１　本文で議論したスピンの際差運動の問題を考える。これは
ハイゼンベルグ表示によっても解くことができる。ハミルトニアン
\[
   H = - \left( \frac{eB}{mc} \right) S_z = \omega S_z
\]
を用いて、時間に依存する演算子$S_x(t)$,$S_y(t)$および$S_z(t)$に
対するハイゼンベルグの運動方程式を書け。これらの方程式を解いて、
$S_{x,y,z}$を時間の関数として求めよ。\\

問２ １次元の自由粒子の位置座標演算子を、ハイゼンベルグ表示で
$x(t)$とする。
\[
   [x(t),x(0)]
\]
を計算せよ。

\clearpage

\begin{center}
{\Large  応用編：量子暗号学入門}
\end{center}


絶対に盗聴されない暗号を作るために東西のスパイたちは日夜知恵を絞ってきたが、
物理学者は、隠れて盗聴される心配のない暗号を量子力学の基本法則の助けを借りて
実現することについに成功した。以下、量子暗号の基本原理を理解するための練習問題
を示す。サクライの教科書3.9節「スピン相関の測定とベルの不等式」および
3.7節「角運動量の合成」も参考にすればより深い理解が得られるであろう。

暗号装置は、電子対を１個はy(+)方向に他方はy(-)方向に放射する放射線源で、
全角運動量がゼロの状態（一重項状態）
\[
|一重項\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} 
               ( |S_z;+\rangle_a |S_z;-\rangle_b 
               - |S_z;-\rangle_a |S_z;+\rangle_b )
\]
で電子対を放出する。y軸の両端には恋人たちAliceとBobがそれぞれいて電子のスピンを
観測する。
ケット$|\rangle_a$はy(+)方向の端にいるAliceによって
観測される電子の状態を表す。
ケット$|\rangle_b$はy(-)方向の端にいるBobによって
観測される電子の状態を表す。

このカップルは、
それぞれ単位ベクトル$\vec{a}_i$,$\vec{b}_j$,$(i,j=1,2,3)$方向の
スピン成分を測定する３台の装置を持っている。
ベクトル$\vec{a}_i$,$\vec{b}_j$は、x-z平面上にありz軸と$\theta^a_i$,
$\theta^b_j$の角をなす。ここでは、$\theta^a_1=0$,$\theta^a_2=\pi/4$,
$\theta^a_3=\pi/2$と$\theta^b_1=\pi/4$,$\theta^b_2=\pi/2$,
$\theta^b_3=(3/4)\pi$としよう。上付きの添え字$a$と$b$は、それぞれ
AliceとBobの測定装置であることを表す。

二人は、それぞれ独立にかつランダムに自分の測定装置を選んで
測定を繰り返す。

%\newpage

問１　Aliceが$\vec{a}_i$、Bobが$\vec{b}_j$方向の測定をしたとき、
それぞれスピン$\pm\frac{\hbar}{2}$および$\pm\frac{\hbar}{2}$を観測する確率を
$P_{\pm\pm}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)$とする。
これは、たとえば
\begin{eqnarray*}
P_{++}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)&=&
\left| (\langle \vec{a}_i;+| \langle \vec{b}_j;+|) |一重項\rangle \right|^2 \\
&=& 
\frac{1}{2} \left|
             \langle \vec{a}_i;+|+\rangle_a \langle \vec{b}_j;+|-\rangle_b
           - \langle \vec{a}_i;+|-\rangle_a \langle \vec{b}_j;+|+\rangle_b 
            \right|^2 \\
&=&\frac{1}{2}\sin^2\left( \frac{\theta^a_i-\theta^b_j}{2}\right)
\end{eqnarray*}
のように計算できる。$P_{\pm\pm}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)$を４つともすべて求めよ。

問２　相関関数を
\[
E(\vec{a}_i,\vec{b}_j)=P_{++}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)+P_{--}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)
-P_{+-}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)-P_{-+}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)
\]
と定義する。$E(\vec{a}_i,\vec{b}_j)=-\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j$
となることを証明せよ。

問３　さらにAliceとBobが異なる向きの測定をした場合の相関関数から新しい量
\[
S=E(\vec{a}_1,\vec{b}_1)-E(\vec{a}_1,\vec{b}_3)
+E(\vec{a}_3,\vec{b}_1)+E(\vec{a}_3,\vec{b}_3)
\]
を定義する。$S$を求めよ。

問４　さて、ここで二人の仲を邪魔しようとしているしているEveが登場する。
EveがAliceの方へ飛んで行く粒子のスピンの情報を得ようとして
途中でスピンのz成分を測定した。このとき、例えば
\begin{eqnarray*}
P_{++}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)&=&
\frac{1}{2}\times\left|(\langle\vec{a}_i;+|\langle\vec{b}_j;+|)
           (|+\rangle_a|-\rangle_b)\right|^2　\\
&&+
\frac{1}{2}\times\left|(\langle\vec{a}_i;+|\langle\vec{b}_j;+|)
           (|-\rangle_a|+\rangle_b)\right|^2 \\
&=&\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta^a_i}{2}\sin^2\frac{\theta^b_j}{2}
             +  \cos^2\frac{\theta^b_j}{2}\sin^2\frac{\theta^a_i}{2})
\end{eqnarray*}
のようにして
$P_{\pm\pm}(\vec{a}_i,\vec{b}_j)$をすべて求めよ。
また、$E(\vec{a}_i,\vec{b}_j)$および$S$も求めて、
Eveが立聞きしているときと、していないときの$S$を較べよ。

問５　以上の結果を用いてどの様にしてAliceとBobはEveに秘密にして通信する
ことができるか、参考資料を読んで考えよ。この方法の欠点はなにか。
もっとよい方法を発見したら、レポートにして提出せよ。


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{A} Artur K. Ekert,"Quantum Cryptography Based on Bell's Theorem",
Pysical Review Letters, p.661, Vol.67(6) (1991).
\bibitem{B} Faye Flam,"Quantum Cryptography's Only Certainty:Secrecy",
Science, p.858,Vol.253(1991).
\bibitem{C} Ａ．エカート著、井元信之訳、「量子暗号理論への招待」、
パリティ（丸善）１９９２年２月号２６ページ 
\end{thebibliography}
%\end{document}

%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage

\setlength{\parindent}{0pt}
\setcounter{equation}{0}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１３回）} \\
１９９１年１０月１日 (飯高・八柳） \\
（調和振動子：ＪＪ２．３節）
\end{center}

\begin{flushleft}
{\bf 復習編}（自信のあるものは、とばして良い）
\end{flushleft}


問１　{\gt 消滅演算子}と{\gt 生成演算子}と呼ばれる無次元の演算子を定義する。
\begin{eqnarray*}
a &=& \sqrt {\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left( x+\frac{ip}{m\omega}\right) \\
a ^{\dagger}&=& \sqrt {\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left( x-\frac{ip}{m\omega}\right) 
\end{eqnarray*}
交換関係$[a,a ^{\dagger}]$を求めよ。

問２　位置$x$,運動量$p$ を生成消滅演算子を用いて表せ。

問３　ハミルトニアン$H$ を{\gt 数演算子}$N=a^  {\dagger}a$
を用いて表せ。
また、$N$がエルミート演算子であることを示せ。

問４　交換関係$[N,a ]$,$[N,a^  {\dagger}]$ を求めよ。

問５　演算子$N$ の固有ケットを
$
N ｜n \rangle = n ｜n \rangle 
$
とするとき、
\begin{eqnarray*}
N (a｜n \rangle) &=& (n-1)｜(a｜n\rangle) \\
N (a^  {\dagger}｜n \rangle) &=& (n+1)｜(a^  {\dagger}｜n\rangle) 
\end{eqnarray*}
を証明せよ。

問６　規格化された固有ケット$ ｜n \rangle$について、
\begin{eqnarray*}
a ｜n \rangle &=& \sqrt {n}｜n-1 \rangle \\
a ^{\dagger}  ｜n \rangle &=& \sqrt {n+1}｜n+1 \rangle 
\end{eqnarray*}
を証明せよ。

問７　級数展開を使って求めた$\phi_0(x)=\langle x  ｜0\rangle$ が、
\[
a ｜0 \rangle = N ｜0\rangle = 0
\]
を満たすことを確かめよ。
一般に
\[
｜n\rangle = \frac{(a  ^{\dagger}) ^n}{\sqrt {n!}}｜0 \rangle 
\]
と書けることを証明せよ。

\newpage

\begin{flushleft}
{\bf 中級編}
\end{flushleft}

問１　調和振動子のハイゼンベルク演算子$x(t)$,$p(t)$を次の３つの
方法で求めよ。
（１）$x(t)$と$p(t)$のハイゼンベルク方程式を解く。
（２）生成消滅演算子のハイゼンベルク方程式を解く。
（３）ベーカー・ハウスドルフの補助定理を用いる。


問２　一次元の調和振動子を例として用い、ハイゼンベルグ表示と
シュレーディンガー表示の差を説明せよ。特に（ａ）力学変数$x$および
$p$が、（ｂ）もっとも一般的な状態ベクトルが、この２つの表示のそ
れぞれでどのように時間発展をするか議論せよ。
 
問３　再び１次元の調和振動子を考える。代数的にすなわち波動関
数を用いずに、次のことを実行せよ。
\begin{description}
  \item[a.] $ <x> $ をできるだけ大きくするような、$ |0\rangle $ と
$ |1\rangle $ の１次結合をつくれ。
  \item[b.] 振動子が $ t=0 $ で、（ａ）で作られた状態にあるとする。
$ t>0 $ に対する状態ベクトルは、シュレーディンガー表示でどうなるか。
$ t>0 $ に対する時間の関数として、期待値 $ \langle x \rangle $ を
（ｉ）シュレーディンガー表示を用いて（ｉｉ）ハイゼンベルグ表示を
用いて計算せよ。
  \item[c.] どちらかの表示を用いて、$ \langle (\Delta x)^2 \rangle $
を時間の関数として計算せよ。
\end{description}

\begin{flushleft}
{\bf 応用編}
\end{flushleft}

問１　中級編問３(a.)の状態ケットに対して
\begin{description}
\item[a.]　波動関数
$
\phi(x)= c_0 \langle x| 0\rangle + c_1 \langle x|1 \rangle
$
の時間発展を求めよ。
\item[b.]　粒子の存在確率$|\phi(x,t)|^2$の時間発展を図示する
BASICプログラムを作成し実行せよ。
\end{description}

問２　ベーカー・ハウスドルフの定理を証明せよ。

問３　$ a_{\pm} $および$ a_{\pm}^{\dagger} $は通常の交換関係を
満足する２つの独立した調和振動子の消滅および生成演算子である。
\[
    J_{\pm} = \hbar a_{\pm}^{\dagger}a_{\mp},\ \ \ J_{z}\frac{\hbar}{2}(a_{+}^{\dagger}a_{+} - a_{-}^{\dagger}a_{-} ) \\
    N = a_{+}^{\dagger}a_{+} + a_{-}^{\dagger}a_{-}
\]
とするとき
\begin{eqnarray*}
   [J_{z},J_{\pm}]  & = & \pm \hbar J_{\pm}  \\
   \ [ \mbox{\boldmath$J^{2}$},J_{z} ] & = & 0  \\
   \mbox{\boldmath$J^{2}$} & = &  \left( \frac{\hbar^{2}}{2} \right) N \left[ \left( \frac{N}{2} \right) + 1 \right]
\end{eqnarray*}
を証明せよ。これは、角運動量を表すための
\underline{シュウィンガーの振動子モデル}
と呼ばれるものである。（ＪＪ３．８節）



%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１４回）} \\
１９９１年１０月８日 (飯高） （波動方程式：ＪＪ２．４節）
\end{center}

\begin{flushleft}
{\bf 初級編}
\end{flushleft}
        問１  次のような形の１次元ポテンシャル
        \[
                V=\left\{ \begin{array}{cc}
                        \frac{1}{2} kx^2,&x>0 \\
                        \infty,&x<0 
                          \end{array} \right.
        \]
        の中にある質量$m$の粒子を考える。　
        [a.]
                基底状態のエネルギーはいくらか。　
        [b.]
                基底状態での期待値$\langle x^2 \rangle $はいくらか。

\vspace{\baselineskip}
問２　球座標を用い、水素原子の基底状態と励起状態に対して、確率の流れ
${\bf j}$を求めよ。特に$m_l\neq 0$の状態では、$m_l$が正か負かに応じて
${\bf j}$は$\phi$が増加または減少する方向を向き、回転する流れをつくることを
示せ。

\begin{flushleft}
{\bf 中級編}
\end{flushleft}
問３　１次元空間（$-\infty < x < \infty$）にある粒子が
$
V=\lambda x, (\lambda>0)
$
から導かれる一定の力を受けている。
　[a.] エネルギースペクトルは連続か不連続か。
$E$で指定されるエネルギー固有関数の近似的表式を書け。またその大よそを
図示せよ。
　[b.] $V$を
$
V=\lambda |x|
$
で置き換えたとき、どのような変更が必要となるかを簡潔に述べよ。

\vspace{\baselineskip}
問４　金属表面に外から強い電場を加えると、金属中の
電子は金属表面のポテンシャル障壁を透過して真空中に飛び出すことができるように
なる。これが\underline{電場電子放出}とよばれる現象で、仕事関数の測定に
利用される。
下の図で$\epsilon_F$は伝導電子のフェルミエネルギー、$\Phi$は仕事関数、
$F$は電場の強さである。
速度$v_z$で表面に向かってきた電子が、トンネル効果によって真空中に
飛び出す確率を求めよ。実際の金属について$\epsilon_F$、$\Phi$の値を調べよ。

［参考書］「仕事関数」塚田著（物理学OnePoint21）、
「固体物理学入門」キッテル著

%\begin{figure}
%\vspace{5cm}
%\end{figure}


%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}
\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１５回）} \\
１９９１年１０月１５日 (飯高） （復習テスト）
\end{center}
\vspace{1cm}
問１　$x=0$で$-V_0$に等しく、かつ$x=\pm a$でゼロになるまでは
$x$とともに一次的に変化し、$|x|>a$に対してはゼロであるような
ポテンシャル中での質量$m$の粒子の一次元の運動に、WKB近似を
適用せよ。$mV_0a^2/\hbar^2=40$の場合、この近似法によって
得られるすべての結合エネルギーの準位を求めよ。

\vspace{1cm}

問２　一次元の調和振動子を考える。
\begin{description}
\item[a.] 行列要素$\langle m|x|n \rangle$,$\langle m|p|n \rangle$,
$\langle m|x|n \rangle$,$\langle m|p|n \rangle$および
$\langle m| \{ x,p \}|n \rangle$を求めよ。
\item[b.] エネルギー固有状態に関してとった運動エネルギーと
位置エネルギーの期待値に対して、ビリアルの定理が成り立つことを
確かめよ。
\end{description}

\vspace{1cm}

問３　１次元調和振動子のポテンシャル中にある１粒子を考察する。
$t=0$で状態ベクトルが
\[
\exp\left( \frac{-ipa}{\hbar} \right) |0\rangle
\]
のように与えられたとする。
ここで$p$は運動量演算子であり、
$a$は長さの次元を持つある量である。
（これは、調和振動子の\underline{コヒーレント状態}
と呼ばれる状態で広い分野で応用されている。）
波動関数はどのような形をしているか。
また、ハイゼンベルク方程式を
用いて、期待値$\langle x \rangle$を$t \ge 0$に対して計算せよ。

%\end{document}
%\documentstyle[12pt]{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１６回）} \\
１９９１年１０月２２日 (飯高） \\
（ポテンシャルとゲージ変換）
\end{center}

【１】　教科書の図２．５の中性子干渉実験において、
運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定であること
\[
\frac{\vec{p}^2}{2m} + mgz = E
\]
を用いて、
位相差の表式
\[
\phi_{ABD}-\phi_{ACD}= - \frac{m_n^2gl_1l_2\sin\delta}{\hbar^2}
\]
求めよ。


【２】　
\begin{description}
\item[a.] 
　\underline{力学的運動量}
$
\vec{\Pi}=\vec{p}-\frac{e}{c}\vec{A}
$
の交換関係
\[
\ [ \Pi_i, \Pi_j ] = \left( \frac{i\hbar e}{c} \right)
                     \epsilon_{ijk} B_k
\]
を求めよ。
\item[b.] 
　ハミルトニアンが
$
H=\vec{\Pi}^2/2m + e\phi
$
であるとき、\underline{ローレンツ力}の量子力学的表式
\[
m\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}=\frac{d\vec{\Pi}}{dt}=
e\vec{E}+\frac{e}{2c} \left( \frac{d\vec{x}}{dt}\times\vec{B}
-\vec{B}\times\frac{d\vec{x}}{dt}\right)
\]
を導け。
\end{description}

\vspace{1cm}

【３】　
ハミルトニアンが
$
H=\vec{\Pi}^2/2m + e\phi
$
であるとき、\underline{連続の方程式}
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} =0
\]
を、時間に依存した波動方程式から導け。
ただし、確率密度流は、
\[
\vec{j}=\left( \frac{\hbar}{m} \right) {\rm Im}(\phi\nabla\phi)
-\left( \frac{e}{mc}\right) \vec{A} |\phi|^2
\]
である。また、確率密度流がゲージ不変であることを示せ。

【４】　\fbox{量子干渉デヴァイス}は、次世代の半導体素子として
注目されている。
\footnote{たとえば、S.Data et al."Novel Interference Effects between Parallel
Quantum Wellsを参照}
　図１のような半導体回路に垂直に磁場をかけて電気伝導率を
測定した。ただし、$L=2(\mu m)\ $, $d=485 {\rm(\AA)}$である。
実験結果、図３を検討せよ。


%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１７回）} \\
１９９１年１０月２９日 (飯高） \\
（５．１節：縮退のない場合の摂動論）
\end{center}


%\vspace{1cm}
【１】　調和振動子（１次元）が摂動$\lambda H_1=bx$を受ける。$b$は実定数である。
\begin{description}
\item[a.] 基底状態のエネルギーのずれを\underline{有限な答えを与える最低次}
まで計算せよ。
\item[b.] この問題を\underline{厳密に}解き(a.)で得た結果と比較せよ。
［証明せずに
\[
\langle n'|x|n\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}
(\sqrt{n+1}\delta_{n',n+1}+\sqrt{n}\delta_{n',n-1})
\]
を仮定してよい。］
\end{description}

%\vspace{1cm}
【２】　\underline{２次元}の等方的調和振動子を考える。このハミルトニアンは、
\[
H_0=\frac{p_x}{2m} + \frac{p_y}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}(x^2+y^2)
\]
で与えられる。
\begin{description}
\item[a.] 低い方から３番目までの状態のエネルギーはいくらか。縮退はあるか。
\item[b.] 次に摂動$V=\delta m \omega^2xy$をかける。ここでは、$\delta$は１より
ずっと小さい無次元の実数である。低い方から３番目までのそれぞれの状態に対して、
ゼロ次のエネルギー固有ケットと対応する１次のエネルギー［すなわち、(a)で得た
無摂動のエネルギーに、１次のエネルギーのずれを加えたもの］を見いだせ。
\item[c.] ハミルトニアンが$H_0+V$の問題を\underline{厳密に}解け。
これを(b)で得た無摂動の結果と比較せよ。
\end{description}
［$\langle n'|x|n\rangle=\sqrt{\hbar/2m\omega}(\sqrt{n+1}\delta_{n',n+1} +
\sqrt{n}\delta{n',n-1})$を用いてよい。］

%\vspace{1cm}
【３】　基底状態に縮退のない一電子原子が、z-方向の一様な電場中に置かれている。
基底状態で誘起された電気双極子モーメントを表す近似的表式を、摂動の１次まで
計算した状態ベクトルに関する$ez$の期待値から求めよ。同じ表式が２次まで計算した
基底状態のエネルギー変化$\Delta=-\alpha|\vec{E}|^2/2$からも得られることを
示せ。（注：$\alpha$は分極率を表す。）スピンは無視せよ。
\vfill

%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}
\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１８回）} \\
１９９１年１１月１１日 (飯高） \\
（電磁気：導波管１）
\end{center}

%\renewcommand{\vec}[1]{{\boldmath #1 }}
\newcommand{\tr}{{\rm tr}}
\newcommand{\ident}{{\bf I}}
%
% declear newcounters
%
\newcounter{tick}

%
% redefine theequation
%
\def\theequation{\arabic{equation}}

%
% redefine DESCRIPTION;
%
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\setlength{\leftmargini}{0pt}
\setlength{\topsep}{0pt plus 5pt}
\setlength{\itemsep}{5pt plus 2pt minus 2pt}

%
% define VEC commands;
%
\renewcommand{\vec}[1]{{\bf #1 }}
\newcommand{\vecg}[1]{\mbox{\boldmath $#1$ } }
\newcommand{\unitvec}[1]{ \hat{\vec{#1}} }
\newcommand{\unitvecg}[1]{ \hat{\vecg{#1}} }

%
% redefine REAL and IMAGINARY commands
%
\renewcommand{\Re}{{\rm Re}}
\renewcommand{\Im}{{\rm Im}}



%
% define CUT command;
%
\newcommand{\cut}[1]%
{
略
}

%
% define LAMBDABAR
%
\newlength{\lambdawidth}
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\newcommand{\lambdabar}{
\lambda
\hspace{-\lambdawidth}
-
}

%
% define RCARRAY environment
%
\newcounter{rcarray}
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{\def\<{&&&}\def\>{\multicolumn{1}{@{}c@{}}{}\\\top}
\setcounter{rcarray}{#1}\addtocounter{rcarray}{4}
\def\top{\cline{2-2}\cline{\value{rcarray}-\value{rcarray}}}
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@{\hspace{0.5\arraycolsep}}c@{\hspace{2pt}}|}
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%
% define QA
%
\newcommand{\qa}[1]%
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\begin{minipage}[b]{\toiwidth} 
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#1 
\end{screen}
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}


%
% define header
%

\pagestyle{plain}


%\input{prejj.tex}
\vspace{1cm}
【１】　
導波管内でのMaxwell方程式
\begin{eqnarray}
 \label{eq:1}
\nabla \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} &=& 0 \nonumber \\
\nabla \times \vec{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} &=& 0 
\nonumber \\
 \nabla \cdot \vec{E} &=& 0 \\
 \nabla \cdot \vec{B} &=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
について、z方向に伝わる波
\begin{eqnarray}
\vec{E}&=&\vec{E}'(x,y) \exp(-i\omega t +i\gamma'z ) \nonumber \\
\vec{B}&=&\vec{B}'(x,y) \exp(-i\omega t +i\gamma'z ) 
\label{eq:2}
\end{eqnarray}
を仮定して、$\vec{E}'$および$\vec{B}'$が満たす波動方程式
\begin{eqnarray}
\label{eq:3}
 \frac{\partial^2 \vec{E}'}{\partial x^2} +
 \frac{\partial^2 \vec{E}'}{\partial y^2} +
 k^{\prime 2}\vec{E}' &=& 0 \nonumber \\
 \frac{\partial^2 \vec{B}'}{\partial x^2} +
 \frac{\partial^2 \vec{B}'}{\partial y^2} +
 k^{\prime 2}\vec{B}' &=& 0 
\end{eqnarray}
\[
k^{\prime 2} = -\gamma^{\prime 2}+ \left( \frac{\omega}{c}\right)^2
\]
を導け。

\clearpage

【２】
振動数$\omega$がカットオフ振動数
\[
\omega_c=k'c
\]
より大きい場合と小さい場合で波の伝わり方はどう違うか。
また、$\omega>\omega_c$のとき、導波管内のz方向の波長
（管内波長）$\lambda_g$は
\[
\lambda_g=\frac{2\pi}{\gamma'}
\]
で表されることを示せ。

【３】
自由空間での波長を$\lambda=2\pi c/\omega$、
カットオフ波長を$\lambda_c=2\pi c/\omega_c$
と表すと、
\[
\frac{1}{\lambda_g^2}=\frac{1}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda_c^2}
\]
となって、\underline{管内波長は自由空間波長よりつねに長くなる}
ことを示せ。

【４】
導波管内での位相速度$v_p$、群速度$v_g$を振動数$\omega$の
関数として表せ。また、
\[
v_pv_g=c^2
\]
となることを示せ。


\clearpage

\begin{center}
長方形導波管
\end{center}

【１】
式(\ref{eq:2})を式(\ref{eq:1})に代入して、
電磁場の２成分$E_z$,$B_z$を用いて残りの４成分$E_x$,$E_y$,$B_x$,$B_y$を表せ。
式(\ref{eq:3})より、$E_z$と$B_z$は
\begin{eqnarray}
\label{eq:5}
 \frac{\partial^2 E_z'}{\partial x^2} +
 \frac{\partial^2 E_z'}{\partial y^2} +
 k^{\prime 2}E_z' &=& 0 \nonumber \\
 \frac{\partial^2 B_z'}{\partial x^2} +
 \frac{\partial^2 B_z'}{\partial y^2} +
 k^{\prime 2}B_z' &=& 0 
\end{eqnarray}
を満たす。

【２】
導波管内を伝播する電磁波として、完全な横波（$E_z=0,B_z=0$）は
存在しないことを説明せよ。
（$E_z=0,B_z \neq 0$）の場合の波をＴＥ波(transverse electric wave)と呼び、
（$E_z \neq 0,B_z = 0$）の場合の波をＴＭ波(transverse magnetic wave)と呼ぶ。

【３】
まず、断面がx方向の辺が長さa、y方向がbの長方形導波管内を伝わる
ＴＥ波を求めよう。
$E_z=0$であるから、$B_z$を求めれば良い。
境界条件が
\begin{equation}
\label{eq:6}
\left( \frac{\partial B_z}{\partial x}\right)_{x=0,a}
=\left( \frac{\partial B_z}{\partial y}\right)_{y=0,b}
=0
\end{equation}
となることを示せ。

【４】
式(\ref{eq:6})の境界条件で式(\ref{eq:5})の解が
\[
B_z=B_0 \cos\frac{m\pi}{a}x \ \cos\frac{n\pi}{b}y \ 
\exp(-i\omega t + i\gamma' z) 
\]
\[
\gamma^{\prime 2} = \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 -k^{\prime 2},
\ \ \ k^{\prime 2}=
\left( \frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left( \frac{n\pi}{b}\right)^2
\ \ \ (m,n) \neq (0,0)
\]
となることを示せ。このような波を$\rm TE_{mn}$波と呼ぶ。

【５】
電磁場の他の成分を全て求めよ。
また、$\rm TE_{10}$波の電場、磁場を図示せよ。

【６】
同様のことを、$\rm TM_{mn}$波に対して行え。

%\end{document}

%\begin{eqnarray}
%E_x &=& \frac{1}{k^{\prime 2}} 
%\left[ i \gamma \frac{\partial E_z}{\partial x}
%      +i \omega \frac{\partial B_z}{\partial y}
%\] \nonumber \\
%E_y &=& \frac{1}{k^{\prime 2}} 
%\left[ i \gamma \frac{\partial E_z}{\partial y}
%      -i \omega \frac{\partial B_z}{\partial x}
%\] \nonumber \\

%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}
\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第１９回）} \\
１９９１年１１月１２日 (飯高） \\
（５．２節：縮退の\underline{ある}場合の摂動論）
\end{center}
%\input{prejj.tex}

【１】　２次元の無限に深い四角なポテンシャル
\[
V_0=\left\{ \begin{array}{cl}
            0 & |x| \leq a かつ |y| \leq a\\
            \infty & 他の場合
            \end{array} \right.
\]
の中にあるスピンのない粒子を考察する。
\begin{description}
\item[a.] 　下から３番目までの状態のエネルギー固有値はいくらか。
縮退はあるか。
\item[b.]
　次にポテンシャル
\[
V_1=
             \lambda xy, \ \ \   |x| \leq a かつ |y| \leq a\\
\]
を加える。これを弱い摂動として以下の問に答えよ。
\begin{enumerate}
\item 三つの状態のそれぞれについて、摂動によるエネルギー変化は$\lambda$に
関して１次か２次か。
\item 下から３番目までの状態のエネルギー変化に対する表式を、$\lambda$の
オーダーまで正確に求めよ。（現れる積分を計算する必要はない。）
\item この三つのエネルギー状態にたいして、摂動があるときとないときの
エネルギーの図を描け。どの無摂動状態が、どの摂動状態と結びつくかが
明らかになるように注意せよ。
\end{enumerate}
\end{description}

【２】　１次のシュタルク効果を考える。
摂動演算子$V$が
\[
V \doteq
\begin{array}{cccc}
 2s    &2pm=0   &2pm=+1 &2pm=-1  \\
 0     &3ea_0E_z&0     &0       \\
 3ea_0E_z&0     &0      &0      \\
 0     &0      &0      &0       \\
 0     &0      &0      &0       
\end{array}
\]
となることを、教科書付録Ａの波動関数を実際に積分して確かめよ。
必要ならば、ルジャンドル多項式に対する公式
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\cos \theta {\rm P}_l^m(\cos \theta)}\\
&=&  \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m+1)}{(2l+1)(2l+3)}}{\rm P}_{l+1}^m(\cos \theta)
+ \sqrt{\frac{(l+m)(l-m)}{(2l+1)(2l-1)}}{\rm P}_{l-1}^m(\cos \theta)
\end{eqnarray*}

\vfill

%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第２０回）} \\
１９９１年１１月１９日 (飯高） \\
（５．３節：微細構造とゼーマン効果）
\end{center}
%\input{prejj.tex}

\begin{center}
第１部：角運動量の合成とスピン−軌道相互作用
\end{center}

水素様原子の価電子の軌道角運動量演算子を$\vec{L}$、
スピン角運動量演算子を$\vec{S}$とする。$\vec{L}$と$\vec{S}$は、
それぞれ角運動量の基本的交換関係
\[
 \ [L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k,  \ \ \  
 \ [S_i,S_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}S_k
\]
を満たし、$\vec{L}$と$\vec{S}$は互いに交換する。

【１】　全角運動量演算子を$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$で定義すると、
$\vec{J}$も交換関係
\[
 \ [J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k
\]
を満たすことを示せ。

【２】　四つの演算子\fbox{選択Ａ：$\vec{L}^2,\vec{S}^2,L_z,S_z$}が
互いに可換で、同時観測量になっていることを示せ。

【３】　全角運動量の自乗が
\[
\vec{J}^2=\vec{L}^2+\vec{S}^2+2L_zS_z+L_+S_-+L_-S_+
\]
とかけることを示せ。

【４】　四つの演算子\fbox{選択Ｂ：$\vec{L}^2,\vec{S}^2,\vec{J}^2,J_z$}が
互いに可換で、同時観測量になっていることを示せ。必要ならば前問の結果を
用いよ。

【５】　次の文中の空欄を埋めよ。

以上のことから、角運動量の基底ケットの選び方には、
\begin{flushleft}
選択Ａ：$|ls;m_lm_s\rangle$
\end{flushleft}
\begin{eqnarray*}
\vec{L}^2 |ls;m_lm_s\rangle &=& 
\fbox{\rule{3cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}}|ls;m_lm_s\rangle \\
\vec{S}^2 |ls;m_lm_s\rangle &=& 
\fbox{\rule{3cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}}|ls;m_lm_s\rangle \\
\fbox{\rule{2cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}} |ls;m_lm_s\rangle &=& 
m_l\hbar |ls;m_lm_s\rangle \\
\fbox{\rule{2cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}} |ls;m_lm_s\rangle &=& 
m_s\hbar |ls;m_lm_s\rangle 
\end{eqnarray*}　
と
\begin{flushleft}
選択Ｂ：$|ls;jm\rangle$
\end{flushleft}
\begin{eqnarray*}
\fbox{\rule{2cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}}|ls;jm\rangle &=& 
l(l+1)\hbar^2 |ls;jm\rangle \\
\fbox{\rule{2cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}}|ls;jm\rangle &=& 
s(s+1)\hbar^2 |ls;jm\rangle \\
\fbox{\rule{2cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}} |ls;jm\rangle &=& 
j(j+1)\hbar^2 |ls;jm\rangle \\
\fbox{\rule{2cm}{0cm}\rule{0cm}{3mm}} |ls;jm\rangle &=& 
m\hbar|ls;jm\rangle 
\end{eqnarray*}　
の二つの選び方がある。

【６】　与えられた$l,s$に対して、この二組の基底を結び付ける
ユニタリー変換が存在し
\[
|ls;jm\rangle=\sum_{m_l} \sum_{m_s} |ls;m_lm_s\rangle
\langle ls;m_lm_s|ls;jm\rangle
\]
と書けることを示せ。この変換係数$\langle ls;m_lm_s|ls;jm\rangle$を
クレプシュ・ゴルダン係数と呼ぶ。

【７】　クレプシュ・ゴルダン係数は、次の条件を満たさないとゼロになる。
\[
\begin{array}{ll}
(1)&m=m_l+m_s \ \ \ （ｍ選択則）\\
(2)&|l-s| \leq j \leq l+s
\end{array}
\]

まず、演算子の恒等式
\[
(J_z-L_z-S_z)=0
\]
を$\langle ls;m_lm_s|$と$|ls;jm\rangle$で挟んで条件（１）を証明せよ。

つぎに、条件（２）を角運動量合成のベクトルモデルの観点から説明せよ。
（厳密な証明は、JJ上巻付録Ｂをみよ）

【８】　水素様原子の価電子を考える場合、電子のスピンは$1/2$だから、
$s=1/2$である。このとき、【７】の条件は
\begin{eqnarray*}
m&=&m_l\pm\frac{1}{2} \\
j&=&l\pm\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
となる。

このとき、クレプシュ・ゴルダン係数は
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{
\left( 
\begin{array}{c}
|ls;j=l+1/2,m\rangle \\
|ls;j=l-1/2,m\rangle
\end{array}
\right)
}
\\
&=&
\left(
\begin{array}{cc}
\fbox{\rule{1.5cm}{0cm}\rule{0cm}{7mm}}
&\fbox{\rule{1.5cm}{0cm}\rule{0cm}{7mm}} \\
-\sqrt{\frac{l-m+1/2}{2l+1}} & 
\fbox{\rule{1.5cm}{0cm}\rule{0cm}{7mm}}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
|ls;m_l=m-1/2,m_s=+1/2 \rangle \\
|ls;m_l=m+1/2,m_s=-1/2 \rangle 
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
となる。空欄に正の実数を入れよ。（ヒント：変換行列のユニタリー性を使え。）
厳密な導出は、JJ３章７節をみよ。

【９】　演算子$\vec{L}\cdot\vec{S}$が
\[
\vec{L}\cdot\vec{S}=\frac{1}{2}(\vec{J}^2-\vec{L}^2-\vec{S}^2)
\]
と書けることを示せ。

【１０】　演算子$\vec{L}\cdot\vec{S}$の固有ケットが$|ls;jm\rangle$であり、
固有値が
\[
\frac{\hbar^2}{2} [ j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4} ]=
\frac{\hbar^2}{2}\left\{ 
\begin{array}{rl}
l&(j=l+1/2　のとき)\\
-(l+1)&(j=l-1/2　のとき)
\end{array}
\right.
\]
となることを示せ。

【１１】　水素様原子の価電子のハミルトニアン
\begin{eqnarray*}
H&=&H_0+H_{LS} \\
H_0&=&\frac{\vec{p}^2}{2m_e}+V_c(r) \\
H_{LS}&=&\frac{1}{m_e^2c^2} \frac{1}{r} \frac{dV_c}{dr} (\vec{L}\cdot\vec{S})
\end{eqnarray*}
について、$H_{LS}$を摂動として扱うことに依って、微細構造に関するランデの
間隔則JJ(5.3.9)式を求めよ。

\begin{center}
第２部：ゼーマン効果
\end{center}

一様な磁場$\vec{B}=(0,0,B)$中の水素様原子のエネルギー状態を考える。

【１】　ベクトルポテンシャル$\vec{A}$は、
\[
\vec{A}=\frac{|\vec{B}|}{2}(-y,x,0)
\]
と表せることを示せ。

【２】　水素様原子のハミルトニアン$H_0$に対して、
\[
\vec{p} \rightarrow \vec{p}-\frac{e}{c}\vec{A}
\]
の置き換えをすると、磁場中でのハミルトニアン
\[
H=\frac{\vec{p}^2}{2m_e} + V_c(r) 
-\frac{e}{2m_ec}(\vec{p}\cdot\vec{A}+\vec{A}\cdot\vec{p})
+\frac{e^2}{2m_ec^2} \vec{A}^2
\]
が得られることを示せ。ただし、$\nabla \cdot \vec{A}(\vec{x})=0$
となるクーロン・ゲージを用いれば、$\vec{p}\cdot\vec{A}$を
$\vec{A}\cdot\vec{p}$で置き換えられる。

【３】　前問のハミルトニアン中のベクトルポテンシャル$\vec{A}$を
【１】の磁場$\vec{B}$で表せば、
\[
H=\frac{\vec{p}^2}{2m_e} + V_c(r) 
-\frac{e}{2m_ec}|\vec{B}|L_z
+\frac{e^2}{8m_ec^2}|\vec{B}|^2(x^2+y^2)
\]
となることを示せ。

【４】　前問のハミルトニアンのうち、重要でない$|\vec{B}|^2$の
項を省略し、スピン磁気モーメント相互作用
\[
-\vecg{\mu}\cdot\vec{B}=\frac{-e}{m_ec}\vec{S}\cdot\vec{B}
=\frac{-e}{m_ec}|\vec{B}|S_z
\]
および、$\vec{L}\cdot\vec{S}$相互作用を考慮すると、全ハミルトニアンは
\begin{eqnarray*}
H&=&H_0+H_{LS}+H_{B} \\
H_B&=&\frac{-e|\vec{B}|}{2m_ec}(L_z+2S_z)
\end{eqnarray*}
となることを示せ。

【５】　\underline{磁場$\vec{B}$が弱いとき}
、$H_0+H_{LS}$を非摂動ハミルトニアン、
$H_B$を摂動項として扱える。非摂動状態$|l,s=1/2;j=l\pm1/2,m \rangle $
の$l$に関する縮退は解けているので、$m$に関しての$2j+1$重の縮退のみが
存在する。縮退している空間内での摂動$H_B$の行列要素が対角化されている
ことを示せ。必要ならば、第１部【８】のクレプシュ・ゴルダン係数、ｍ選択則
を用いよ。

【６】　前問の結果より、縮退している部分空間内で$H_B$は対角化されているので、
１次のエネルギーのずれを求めるのに、単に非摂動状態で期待値をとればよい。
\underline{ランデの公式}
\begin{eqnarray*}
\Delta E &=& \langle l,s=1/2;j=l\pm1/2,m|H_B|l,s=1/2;j=l\pm1/2,m \rangle \\
&=& \frac{-e\hbar B}{2m_ec} m \underline{\left[ 1\pm\frac{1}{2l+1}\right]}
\end{eqnarray*}
を求めよ。下線部は、\underline{ランデのg因子}と呼ばれる。

【７】　\underline{磁場$\vec{B}$が強いとき}（パッシェン・バックの極限）
、$H_0+H_B$を非摂動ハミルトニアン、
$H_{LS}$を摂動項として扱える。非摂動状態$|l,s=1/2;j=l\pm1/2,m \rangle $
を用いて、磁場によるエネルギーのずれ
\[
\frac{-e|\vec{B}|\hbar}{2m_ec}(m_l+2m_s)
\]
を導け。

【８】　前問の結果より、$H_0$の下で持っていた
$m_l$と$m_s$に関する$(2l+1)\times 2$重の縮退は、磁場が強いときには
$H_B$によって解け、残った縮退は$(m_l+2m_s)$が同じ値をとるときの
２重の縮退（$|m_l,m_s+1/2\rangle$と$|m_l+2,m_s=-1/2\rangle$）
のみである。縮退している部分空間内で摂動$H_{LS}$が対角化されていることを
示せ。必要ならば、
\[
\vec{L}\cdot\vec{S}=L_zS_z+\frac{1}{2}(L_+S_-+L_-S_+)
\]
を用いよ。

【９】　摂動項$H_{LS}$により、２重の縮退も解ける。
$H_{LS}$による１次のエネルギーのずれが
\[
\frac{\hbar^2m_lm_s}{2m_e^2c^2} 
\left\langle \frac{1}{r} \frac{dV_c}{dr}\right\rangle
\]
となることを示せ。


\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第２１回）} \\
１９９１年１１月２５日 (飯高） \\
（電磁気：導波管２）
\end{center}
%\input{prejj.tex}

\begin{center}
媒質の境界での電場・磁場（復習）
\end{center}

【１】　空欄を埋めよ。

媒質中のMaxwell方程式は
\begin{eqnarray}
\label{eq:1.1}
\nabla \times \vec{E} &=& - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\
\label{eq:2.1}
\nabla \times \vec{H} &=& \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\
\label{eq:3.1}
\nabla \cdot \vec{D} &=& \rho \\
\label{eq:4.1}
\nabla \cdot \vec{B} &=& 0 
\end{eqnarray}
となる。このほかに媒質の性質を表す関係式として
\begin{eqnarray}
\vec{D} &=& \epsilon \vec{E} = \epsilon_0\vec{E} +\vec{P} \\
\vec{H} &=& \frac{1}{\mu} \vec{B} = \frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M} \\
\vec{j} &=& \sigma \vec{E} 
\end{eqnarray}
がある。$\epsilon_0$および$\mu_0$は、真空の誘電率および透磁率である。
$\vec{P}$および$\vec{M}$は、
媒質に誘起された\fbox{　　}および\fbox{　　}であり、
$\epsilon,\mu,\sigma$は、それぞれこの媒質の \fbox{　　　}、 
\fbox{　　　}、 \fbox{　　　}と呼ばれる物質定数である。
これらの定数は物質のハミルトニアンから量子力学の摂動論を用いて求められるが、
電磁気学としては単に与えられた定数として扱う。

【２】　つぎに、媒質の境界での電場・磁場の接続条件を求めよう。
\begin{enumerate}
\item 式（\ref{eq:1.1}）を境界面に垂直に刺さった長方形$S$について面積分して、
電場の接線成分の接続条件
$
\vec{E}_t=\vec{E}'_{t}
$
を求めよ。
\item 式（\ref{eq:2.1}）を境界面に垂直に刺さった長方形$S$について面積分して、
磁場の接線成分の接続条件
$
\vec{H}_t=\vec{H}'_{t} + j \Delta l
$
を求めよ。（$j \Delta l$は表面電流を表す。）
\item 式（\ref{eq:3.1}）を境界面に垂直に刺さった直方体$V$について体積積分して、
電束密度の法線成分の接続条件
$
\vec{D}_n=\vec{D}'_{n} + \rho \Delta l
$
を求めよ。（$\rho \Delta l$は表面電荷を表す。）
\item 式（\ref{eq:4.1}）を境界面に垂直に刺さった直方体$V$について体積積分して、
磁束密度の法線成分の接続条件
$
\vec{B}_n=\vec{B}'_{n} 
$
を求めよ。
\end{enumerate}

【３】\underline{完全導体表面での境界条件}
導体内部には電場$\vec{E}$は存在しえない。仮に電場が存在したとすると
$j=\sigma\vec{E}$により電流が流れて、電場を打ち消すように電子が
移動するからである。ところで、【２】より$\vec{E}_t$は境界面で
連続であるから、導体内部で$\vec{E}_t=0$ならば導体外部でもゼロである。
すなわち、電場は導体表面で法線成分のみをもつ。

導体内部には高周波磁場は存在できない。導体内では$\vec{E}=0$だから、
式（\ref{eq:1.1}）より$\partial \vec{B}/\partial t$はゼロだからである。
ところで、【２】より$\vec{B}_n$は境界面で
連続であるから、導体内部で$\vec{B}_n=0$ならば導体外部でもゼロである。
すなわち、磁束密度はは導体表面で接線成分のみをもつ。

以上をまとめると、完全導体表面での境界条件は
$
\vec{E}_{\fbox{　}} = 0, \ \ \ \ \vec{B}_{\fbox{　}} = 0
$
となる。（空欄を埋めよ。）

\begin{center}
円形導波管
\end{center}

【４】　半径$a$の円形導波管を伝わる電磁波を求めるために、Maxwell方程式を
円筒座標$(r,\phi,z)$で書こう。電場、磁場の時間依存性を$e^{i\omega t}とすれば、
$式（\ref{eq:1.1}）−（\ref{eq:4.1}）は
\begin{eqnarray}
\label{en1}
\frac{\partial E_z}{r\partial\phi}-\frac{\partial E_\phi}{\partial z}
&=& -i \omega B_r \\
\label{en2}
\frac{\partial E_r}{\partial z}- \frac{\partial E_z}{\partial r}
&=& -i \omega B_\phi \\
\label{en3}
\frac{\partial(rE_\phi)}{r\partial r}- \frac{\partial E_r}{r\partial \phi}
&=& -i \omega B_z \\
\label{en4}
\frac{\partial B_z}{r\partial\phi}-\frac{\partial B_\phi}{\partial z}
&=& i \frac{\omega}{c^2} E_r \\
\label{en5}
\frac{\partial B_r}{\partial z}- \frac{\partial B_z}{\partial r}
&=& i \frac{\omega}{c^2} E_\phi \\
\label{en6}
\frac{\partial(rB_\phi)}{r\partial r}- \frac{\partial B_r}{r\partial \phi}
&=& i \frac{\omega}{c^2} E_z \\
\label{en7}
\frac{\partial (rE_r)}{r\partial r} + \frac{\partial E_\phi}{r\partial\phi}
+\frac{\partial E_z}{\partial z} &=& 0 \\
\label{en8}
\frac{\partial (rB_r)}{r\partial r} + \frac{\partial B_\phi}{r\partial\phi}
+\frac{\partial B_z}{\partial z} &=& 0 
\end{eqnarray}
となることを示せ。

【５】　円形導波管のTM波を求めよう。
式（\ref{en1}）（\ref{en2}）を式（\ref{en6}）に代入して$E_z$に関する方程式
\begin{equation}
\label{en9}
\frac{\partial^2 E_z}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial E_z}{\partial r}
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 E_z}{\partial\phi^2}
+\frac{\partial^2E_z}{\partial z^2}+\frac{\omega^2}{c^2}E_z=0
\end{equation}
を導け。

【６】　方程式（\ref{en9}）の解を
\[
E_z=R(r)\Phi(\phi)\exp(i\omega t-i\gamma'z)
\]
と置いて、変数分離法により
\begin{eqnarray*}
\Phi&=&\Phi_0 \exp(\pm i n \phi) \ \ \ （nは整数）\\
R&=& J_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma^{\prime 2}} r) 
\end{eqnarray*}
となることを示せ。
ただし、$J_n(\rho)$はｎ次のBessel関数で、Besselの微分方程式
\[
\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{1}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+
\left( 1-\frac{n^2}{\rho^2}\right)R=0
\]
の、$\rho=0$で有界となる解である。

【７】　$r=a$の導体壁上で$E_z=0$となる境界条件
\[
J_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma^{\prime 2}} a)=0
\]
より、$\gamma'$の値は
\[
\gamma_{nm}^{\prime 2}=\frac{\omega^2}{c^2}-\frac{\rho_{nm}^2}{a^2}
\]
となることを示せ。ただし、$\rho_{nm}$は$J_n(\rho)$の$m$番目のゼロ点である。

【８】　カットオフ振動数$\omega_c$、カットオフ波長$\lambda_c$
\[
\omega_c=\frac{c}{a}\rho_{nm}, \ \ \ 
\lambda_c=\frac{2\pi a}{\rho_{nm}}
\]
を導け。

【９】　管内波長$\lambda_g=2\pi/\gamma'_{nm}$、
自由空間での波長$\lambda$、カットオフ波長$\lambda_c$の
間の関係式
\[
\frac{1}{\lambda_g^2}=\frac{1}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda_c^2}
\]
が成り立つことを確認せよ。

【１０】　式（\ref{en1}）-（\ref{en6}）を使って、$E_z$から電場・磁場の
全ての成分
\begin{eqnarray*}
E_z &=& E_0 J_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}} r) 
\exp(\pm in\phi -i\gamma'_{nm}z + i\omega t) \\
E_r &=& \frac{i\gamma'_{nm}E_0}{\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}}}
J'_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}} r) 
\exp(\pm in\phi -i\gamma'_{nm}z + i\omega t) \\
E_\phi &=& \frac{\mp n \gamma'_{nm}}{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}}
\frac{E_0}{r}J_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}} r) 
\exp(\pm in\phi -i\gamma'_{nm}z + i\omega t) \\
B_z &=& 0 \\
B_r &=& \frac{\mp n \omega/c^2}{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}}
\frac{E_0}{r}J_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}} r) 
\exp(\pm in\phi -i\gamma'_{nm}z + i\omega t) \\
B_\phi &=& \frac{-i\omega/c^2}{\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}}}
E_0 J'_n(\sqrt{(\omega/c)^2-\gamma_{nm}^{\prime 2}} r) 
\exp(\pm in\phi -i\gamma'_{nm}z + i\omega t) 
\end{eqnarray*}
を求めよ。

\begin{center}
ＴＥＭ波
\end{center}

以上の問題から、
長方形導波管にせよ円形導波管にせよ、導体に囲まれた空間が単連結の
ときは、完全な横波は伝播できないことが分かった。
しかし、導体で囲まれた空間が単連結でない場合は、完全な横波
（ＴＥＭ波；principal mode）が伝播しうる。
最も簡単な例として、半径$a$の筒状の導体のなかに半径$b$の
円柱の導体が入っている同軸ケーブルを考えよう。導体間は真空とする。

【１１】　横波の条件と境界条件より
$
E_\phi=E_z=0,\ \ \ B_r=B_z=0
$
となることを示せ。

【１２】　このとき、式（\ref{en1}）−（\ref{en8}）は、
\begin{eqnarray*}
-\frac{\partial B_\phi}{\partial z} &=& i \frac{\omega}{c^2} E_r \\
\frac{\partial(rB_\phi)}{r\partial r} &=& 0 \\
\frac{\partial E_r}{\partial z}&=&-i\omega B_\phi \\
-\frac{\partial E_r}{r \partial\phi} &=& 0
\end{eqnarray*}
となることを示せ。

【１３】　上式から$B_\phi$または$E_r$を消去して
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2 E_r}{\partial z^2} &=& -\frac{\omega^2}{c^2} E_r \\
\frac{\partial^2 B_\phi}{\partial z^2} &=& -\frac{\omega^2}{c^2} B_\phi 
\end{eqnarray*}
を導け。

【１４】　Maxwell方程式と境界条件を満たす解、
\begin{eqnarray*}
E_r &=& \frac{E_0}{r} \exp(i\omega t \pm i\gamma'z), \ \ \  
E_\phi= E_z=0 \\
B_\phi &=& \frac{E_0}{cr} \exp(i\omega t \pm i\gamma'z), \ \ \ 
B_r= B_z=0 \\
\gamma' &=& \omega/c
\end{eqnarray*}
を導け。

【１５】　どんな振動数のＴＥＭ波も同軸ケーブルをを伝播できることを説明せよ。
また、この同軸ケーブル中のＴＥＭ波の位相速度も群速度も$c$であることを示せ。

%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第２２回）} \\
１９９１年１１月２６日 (飯高） \\
（変分法）
\end{center}
%\input{prejj.tex}

【１】　１次元調和振動子の基底状態のエネルギーを、$\beta$をパラメータとした
試行関数
\[
\langle x|\tilde{0} \rangle = e^{-\beta|x|}
\]
を用いて算出せよ。
（$\int_0^{\infty}e^{-ax}x^n=n!/a^{n+1}$を使うとよい。）

【２】　２次元ポテンシャル
\[
V_0=\left\{ \begin{array}{cl}
            0 & 0 \leq x \leq L かつ 0 \leq y \leq L\\
            \infty & 他の場合
            \end{array} \right.
\]
の中の粒子を考察する。基底状態および第１励起状態のエネルギー固有関数を表せ。
次に、
\[
V_1=\left\{ \begin{array}{cl}
            \lambda xy & 0 \leq x \leq L かつ 0 \leq y \leq L\\
            0 & 他の場合
            \end{array} \right.
\]
の形の時間に依らない摂動を加えた。基底状態および第１励起状態に対して、
ゼロ次のエネルギー固有関数と、１次のエネルギー変化を求めよ。

【３】　微分方程式
\[
\frac{d^2\phi}{dx^2} + (\lambda-|x|)\phi=0, \\
|x| \rightarrow \infty 　にたいして　\phi \rightarrow 0
\]
の最低固有値$(\lambda)$を、試行関数として
\[
\phi = \left\{ \begin{array}{cl}
               c(a-|x|), & |x| < a \\
               0         & |x| > a
               \end{array} \right. \\
（aは変分パラメータ）
\]
を用いた変分法により算出せよ。
（注意：$d\phi/dx$は$x=0$で不連続である。）
この問題を解くのに以下の数値のデータが役立つであろう。
$3^{1/3}=1.442$,$5^{1/3}=1.710$,$3^{2/3}=2.080$,$\pi^{2/3}=2.145$.
なお最低固有値の\underline{厳密な}値は1.019であることが示せる。

%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第２３回）} \\
１９９１年１２月３日 (飯高） \\
（相互作用表示）
\end{center}
%\input{prejj.tex}

非摂動ハミルトニアン$H_0$に時間に依存するポテンシャル$V(t)$が
加わる系を考える。
\[
H=H_0 + V(t)
\]
シュレーディンガー表示の状態ケット$|\alpha,t\rangle_S$を使って
相互作用表示の状態ケット$|\alpha,t\rangle_I$を
\[
|\alpha,t\rangle_I = e^{+iH_0t/\hbar} |\alpha,t\rangle_S
\]
で定義する。また、シュレーディンガー表示の演算子$A_S$を使って
相互作用表示の演算子$A_I$を
\[
A_I=e^{+iH_0t/\hbar}A_se^{-iH_0t/\hbar}
\]
で定義する。

【１】　観測量$A$の時刻$t$における期待値は、シュレーディンガー表示
相互作用表示のどちらを使っても等しくなることを示せ。

【２】　相互作用表示の状態ケットの時間発展は、微分方程式
\[
i\hbar \frac{\partial \ }{\partial t}|\alpha,t\rangle_I
=V_I|\alpha,t\rangle_I
\]
で表されることを示せ。

【３】　相互作用表示の観測量$A_I(t)$（シュレーディンガー表示では
時間を陽に含まないとする）の時間発展は運動方程式
\[
\frac{dA_I}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \ [A_I,H_0]
\]
で表されることを示せ。

【４】　相互作用表示のケット$|\alpha,t\rangle_I$を、時間に依存しない
基底ケット$|n\rangle$で
\[
|\alpha,t\rangle_I = \sum_n c_n(t) |n \rangle
\]
と展開する。係数$c_n(t)$が連立微分方程式
\begin{eqnarray*}
i\hbar\frac{d}{dt} c_n(t) &=& \sum_m V_{nm}(t) e^{i\omega_{nm}t}c_m(t) \\
\omega_{nm} &=& (E_n-E_m)/\hbar
\end{eqnarray*}
を満たすことを示せ。

【５】　$E_1 < E_2$の２準位系を考える。２準位系を結ぶ時間に依存する
次のようなポテンシャルがある：
\[
V_{11}=V_{22}=0,\ V_{12}=\gamma e^{i\omega t},\ V_{21}=\gamma e^{-i\omega t}
\ \ \ （\gamma は実数）
\]
$t=0$では下の準位のみに状態が分布していたこと---すなわち$c_1(0)=1$,
$c_2(0)=0$---が分かっている。

$t>0$での$|c_1(t)|^2$,$|c_2(t)|^2$を、連立微分方程式
\[
i\hbar \dot{c}_k = \sum_{n=1}^2 V_{kn}(t) e^{i \omega_{kn}t}c_n
\ \ \ (k=1,2))
\]
を厳密に解いて
（ラビの公式）
\begin{eqnarray*}
|c_2(t)|^2 &=& \frac{\gamma^2/\hbar^2}{\Omega^2} \sin^2 \Omega t \\
|c_1(t)|^2 &=& 1-|c_2(t)|^2 \\
 &=& \cos^2\Omega t +\frac{(\omega-\omega_{21})^2/4}{\Omega^2} \sin^2 \Omega t
\end{eqnarray*}
求めよ。ただし、
\begin{eqnarray*}
\omega_{21} &=& (E_2-E_1)/\hbar \\
\Omega &=& \sqrt{\frac{\gamma^2}{\hbar^2} + \frac{(\omega-\omega_{21})^2}{4}}
\end{eqnarray*}
である。

【６】　２準位系の共鳴を研究して\underline{ノーベル賞を受賞しそこなった人}に、
ソ連のオコロコフ博士がいる。

速度$v$のイオンが、原子間隔$d$の原子列に平行に走っている
（チャネリング現象）。イオンの電子の基底エネルギーと励起エネルギーの差
$\Delta E$が条件$\Delta E = n\hbar v /d \ \ （nは整数）$を満たすとき
電子が激しく励起される（オコロコフ効果）ことを説明せよ。

［参考文献］　物理学最前線１５：藤本文範著「チャネリング・
ブロッキング」；  山崎泰規著：「粒子線物理学」、丸善、
(ISBN4-621-03998-9)。�X�@

%\end{document}
%
%\begin{center}
%第２部：強制振動（古典力学）
%\end{center}
%
%【１】　外力$f(t)$を受ける調和振動子の古典的ハミルトニアンは、
%\[
%H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}q^2-f(t)q
%\]
%となることを示せ。（$p$と$q$に関する運動方程式を求めよ。）
%ただし、$f(t)=0,\ \ \ (t<0)$とする。
%
%【２】　新しい複素数の変数
%\begin{eqnarray*}
%a(t) &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} q(t)
%        +\frac{i}{\sqrt{2\hbar m\omega}} p(t) \\
%a^*(t) &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} q(t)
%        -\frac{i}{\sqrt{2\hbar m\omega}} p(t) 
%\end{eqnarray*}
%を導入する。【１】で求めた運動方程式を$a(t)$で書き直して
%\begin{eqnarray*}
%
%\end{eqnarray*}
%
%【３】　外力が無い場合について、【２】の方程式の解
%\[
%a(t)=e^{-i\omega t}a(t=0)
%\]
%を求めよ。
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第２４回）} \\
１９９１年１２月１０日 (飯高） \\
（時間に依存した摂動論）
\end{center}
%\input{prejj.tex}

\begin{center}
第１部：ダイソン級数
\end{center}

【１】　相互作用表示での時間発展演算子$U_I(t,t_0)$を
\begin{equation}
\label{eqq:1.1}
|\alpha,t_0;t \rangle_I = U_I(t,t_0) |\alpha,t_0;t=t_0 \rangle_I
\end{equation}
と定義する。
相互作用表示の状態ケットの時間発展に対する微分方程式は
\[
i\hbar \frac{\partial \ }{\partial t}|\alpha,t\rangle_I
=V_I(t)|\alpha,t\rangle_I
\]
で表されることを用いて、時間発展演算子に対する微分方程式
\begin{equation}
\label{eqq:1.3}
i\hbar \frac{d \ }{dt}|U_I(t,t_0)
=V_I(t)U_I(t,t_0)
\end{equation}
を導け。

【２】　初期条件
\[
U_I(t,t_0)|_{t=t_0}=1
\]
を用いて微分方程式(\ref{eqq:1.3})の両辺を積分することにより、
$U_I(t,t_0)$に対する積分方程式
\begin{equation}
\label{eqq:2.2}
U_I(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t V_I(t')U_I(t',t_0)dt'
\end{equation}
を導け。

【３】　方程式(\ref{eqq:2.2})の解は、逐次近似により、
ダイソン級数
\begin{eqnarray}
\label{eqq:3.1}
U_I(t,t_0)&=&1+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n
\int_{t_0}^{t} dt^{(1)}
\int_{t_0}^{t^{(1)}} dt^{(2)}
\cdots
\int_{t_0}^{t^{(n-1)}} dt^{(n)} \nonumber \\
&&\times
V_I(t^{(1)})V_I(t^{(2)}) \cdots V_I(t^{(n)})
\end{eqnarray}
の形に書けることを示せ。

摂動$V_I(t)$は演算子であるから、
一般に異なる時間の摂動演算子は\underline{交換不可能}である
こと、すなわち
$
\ [V_I(t),V_I(t')] \neq 0,  (t \neq t')
$
に注意せよ。


【４】　（発展問題）　
異なる時間の摂動演算子が交換可能である\underline{特別な場合}
、すなわち
$
\ [V_I(t),V_I(t')] = 0,  (t \neq t')
$
のとき、ダイソン級数は足し合わせることができて
\[
U_I(t,t_0)= \exp\left(-\frac{i}{\hbar} 
\int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right)
\]
となることを示せ。

\newpage

\begin{center}
第２部：遷移確率
\end{center}

【５】　相互作用表示での時間発展演算子の定義(\ref{eqq:1.1})
より、
\[
U_I(t,t_0)=\exp\left( \frac{iH_0t}{\hbar} \right)
U(t,t_0)\exp\left( - \frac{iH_0t_0}{\hbar} \right)
\]
と表せることを示せ。ただし、$U(t,t_0)$はシュレーディンガー表示での
時間発展演算子である。

【６】　時刻$t_0$に$H_0$のエネルギー固有状態$|i\rangle$にあった系が、
時刻$t$に$H_0$のエネルギー固有状態$|n\rangle$に
遷移する確率は、シュレーディンガー表示では$|\langle n|U(t,t_0)|i \rangle|^2$
で与えられる（ＪＪ２章参照）。相互作用表示でも
\[
|\langle n|U_I(t,t_0)|i \rangle|^2=|\langle n|U(t,t_0)|i \rangle|^2
\]
で与えられることを示せ。

【７】　位相を適当に選んで、
$
|i,t_0;t_0\rangle_I = |i\rangle
$
となるようにする。相互作用表示による時刻$t$のケットは
\begin{eqnarray*}
|i,t_0;t\rangle_I &=& \sum_n c_n(t) |n\rangle \\
c_n(t) &=& \langle n|U_I(t,t_0)|i \rangle
\end{eqnarray*}
と書けることを導け。

【８】　係数$c_n(t)$を摂動$V_I(t)$で展開すれば、
\begin{eqnarray*}
c_n(t) &=& c_n^{(0)}+c_n^{(1)}+c_n^{(2)}+ \cdots \\
c_n^{(0)}(t) &=& \delta_{ni} \\
c_n^{(1)}(t) &=& 
\frac{-i}{\hbar} \int_{t_0}^t dt' e^{i\omega_{ni}t'} V_{ni}(t') \\
c_n^{(2)}(t) &=& 
\left( \frac{-i}{\hbar} \right)^2 \sum_m
\int_{t_0}^t dt' \int_{t_0}^{t'} dt^{\prime \prime} 
e^{i\omega_{nm}t'} e^{i\omega_{mi}t''} 
V_{nm}(t')V_{mi}(t'') 
\end{eqnarray*}
となることを示せ。

【９】　１次元調和振動子が、$t<0$で基底状態にあった。$0 \le t$でこの系に
時間依存性はあるが空間的には一様な\underline{力}（ポテンシャルではない）
\[
F(t)=F_0 e^{-t/\tau}
\]
が、x方向にかかった。
時間を含む１次の摂動論を用い、$t>0$で振動子が第１励起状態に
見いだされる確率を求めよ。$t \rightarrow \infty$（$\tau$は有限）の極限で、
この結果は時間に依らないことを示せ。これはもっともな結果か、意外な結果か。

［$\langle n'|x|n \rangle =\sqrt{\hbar/2m\omega_0}
(\sqrt{n+1}\delta_{n',n+1}+\sqrt{n}\delta_{n',n-1})$ を用いるとよい。］

%\end{document}
%\documentstyle{jarticle}
%\begin{document}

\clearpage
\setcounter{equation}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{center}
{\large  物理学演習Ｂ（第２５回）} \\
１９９２年１月１４日 (飯高） \\
（古典的輻射場との相互作用への応用）
\end{center}
%\input{prejj.tex}
【１】（５点）　角振動数$\omega$の直線偏光が、角振動数$\omega_0$の３次元等方的
調和振動子の基底状態で波動関数が近似できる一電子”原子”に当たる。
光電子放出の微分断面積は、運動量$\hbar k$の放出電子が平面波状態にあると
見なせるとき
\begin{eqnarray*}
\frac{d\sigma}{d\Omega} &=& \frac{4\alpha\hbar^2k_f^3}{m^2\omega\omega_0}
\sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega_0}}
\exp \left\{ -\frac{\hbar}{m\omega_0} 
\left[ k_f^2+\left( \frac{\omega}{c}\right)^2 \right]\right\} \\
&& \times \sin^2\theta \cos^2\phi 
\exp \left[ \left( \frac{2\hbar k_f \omega}{m \omega_0 c}
\right) \cos \theta \right]
\end{eqnarray*}
で与えられることを示せ。（ここに使われている座標系は、図5.10に示されたもの
である。）

【２】（５点）　水素原子に対して、$\tau(2p \rightarrow 1s)$の表式を求めよ。
これが$1.6\times10^{-9}$sに等しいことを確かめよ。

【３】（１０点）　［時間が余った人のために］　
電磁場を量子化することによって、原子が電磁波を放出吸収するときの
遷移確率$w_{i \rightarrow f}$をもとめて、教科書の式(5.7.8)と比較せよ。

\vfill

\end{document}