で与えられる。この問題を厳密に解き規格化されたエネルギー固有状態 と固有値を求めよ。（ スピンに依存するこのようなハミルトニアン は、固体物理で実際に現れる。）このハミルトニアンは 時間反転 の下で不変であるか。 求められた規格化された固有状態は、時間反転の下でどのように変換されるか。
［解答］スピン１の粒子のスピン演算子
を用いれば、
と書ける。
固有方程式は、
とおいて
となる。３つの基底ケット
を
と略記すれば、
エネルギー固有値
,
に対応するケットは
となる。
を実数として
であることに注意すれば、
ただちに、ハミルトニアンが時間反転不変であること
が示される。
式(4.4.78)、
より、
のように変換される。