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問１８　１次元 調和振動子  の コヒーレント状態  は、（非エルミート的な） 消滅演算子  の固有状態として定義される：

ここでは一般に複素数である。

a.

状態ケット

が 規格化  されたコヒーレント状態であることを示せ。

b.

この状態に対して、 最小不確定関係   を証明せよ。

c.

を

の形に書け。のに関する分布が、ポアソン型であることを示せ。 を最大にするの値、したがっての値 を見出せ。

d.

コヒーレント状態は（有限変位の） 平行移動演算子  を 基底状態  に作用させることによっても 得られることを示せ。ここでは 運動量演算子で、 は変位の距離である。
（Gottfried 1966, pp.262-64をも参考にせよ。）

［解答］

a.

　 すぐ後で証明する設問 c.の結果を使って、 ケットが規格化されていることが、

と示される。また、コヒーレント状態であることが、 ベーカー・ハウスドルフの補助定理  を用いて

と示される。

b.

　位置のゆらぎは、

であり、運動量のゆらぎは

となるので、コヒーレント状態は、最小不確定 関係

を満たす。 波束の図

c.

　コヒーレント状態をエネルギー固有状態で 展開すると

となるので、

を得る。したがって、 の に関するポアッソン型分布

を得る。 ここで両辺の対数をとると

となる。したがって、不等式

すなわち

を満たす限り、は増加関数

となるので、がを越えない最大の整数のとき が最大値をとる。したがって、を最大にするの値 およびの値は、 ガウスの記号 を使って

と表される。

d.

　調和振動子の基底状態に有限変位の平行移動演 算子 を作用させた状態

に消滅演算子を作用させると

となる。したがって、状態は、固有値

を持つコヒーレント状態である。ただし、上の計算で ベーカー・ハウスドルフの補助定理  と交換関係

および調和振動子の基底状態の性質を使った。

以上のことから、問１１でも扱った、振動する古典的調和振動子に対応する状態 はコヒーレント状態であることが分かる。