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数値量子力学入門

はじめに

「数値流体力学」という学問がある。気体や液体を支配する 基本方程式を数値計算して、流体の運動をシ･＜・戟[トする方法だ。 「数値量子力学」では、流体の基抹��・阿ﾎ 代わりにシュレーディンガー方程式を計算機で直接解く。 そうすれば、 ･＜Nロな世界での粒子の運動をシ･＜・戟[トできる。 実際、このような研究が 計算機の性泊・鉾・犬靴討�C拭｣

「数値量子力学」には、２通りのアプローチがある。 第一の方法では、 を数値的に計算し、 波束の時間発展を求めて量子力学的粒子のダイナ･＜bクな 動きを直観的に捉える[1]。 第二の方法では、時間発展演算子の 時間に関するフーリエ変換（グリーン関数）G(E) を数値的に計算し、エネルギーの関数としての 粒子の性質を定量的に捉える[2]。 エネルギーの方法と 時間発展の方法が互いに等価であることは 量子力学の基本原理が保証している[3]が、 それぞれに適した応用がある。

枕eでは、 一次元の　tight binding モデルでグリーン関数を数値計算して 散乱ポテンシャルによる電気抵抗を求める方法を解説する。 ゼ･≠ﾅは、この数値計算法を用いて具体的問題を解き、量子力学の基俣Iなしくみ の理解を深める。 また、メゾスコッピック系における量子カオスの問題[4]への応用にも 少し触れたい。読者に必要な知識は、量子力学の初歩（たとえば文献[3]の第２ 章）、 および FORTRAN の基礎文法である。

離散化

 

 
Figure: 無限の鎖

計算機でシュレーディンガー方程式を解くには、偏微分方程式を 離散的なベクトル方程式に置き換える必要がある。 そのために、連続な直線を垂Pのように離散化し、 方程式中の波動関数の微分を格子点 上の確率振幅の差分で近似する。 粒子が 番目の格子に見つかる確率はで与えられる。

粒子の量子的な状態は、複素確率振幅の集まりからなる縦ベクトル（ ケットと呼ぶ）

でﾉ扞MG ALIGN=BOTTOM ALT="" SRC="img8.gif">番目の格子に粒子がある状態のケットは、

となる。

同様にして、ケットの複素転置行列、 ブラ

が定義される。たとえば、第サイトにある粒子は

となる。

つぎに、ハ･＜泣gニアンも離散化しよう。微分演算子を差分で近似すれば、

 

となり、ハ･＜泣gニアンは無限次元の行列になる。

 

ただし、

 

かつ

 

時間発展演算子

離散化したシュレーディンガー方程式

 

の形式解は

 

と書ける。ここで、行列の指数関数をつぎのようにテーラー展開で定義した。

 

形式解(9)がシュレーディンガー方程式(8)の解で あることが、つぎのように示される。

時刻に位置に粒子を置いたとき、時刻に位置に 粒子が見かる確率を考えよう。 粒子を置く前()に粒子の見つかる確率がゼロとなるように、 遅延境界条件を考慮した時間発展演算子

を定義する。ここで、は

で定義される階段関数である。

時刻に格子に粒子を置いたときの、時刻のケットは

となり、時刻に格子に粒子の見つかる確率は、

とﾉk

時間発展演算子 の数値計算法については、文献[1]および その中の引用文献を参照せよ。

グリーン関数

時間発展演算子は系の時間発展を与える。 これに対して、 グリーン関数は特定のエネルギーを持った 粒子の確率振幅を与える。グリーン関数は、つぎのように定義される。

ここで、時間発展演算子の時間に関するフーリエ変換を

 

とした。ハ･＜泣gニアンが行列であることに注意せよ。 微小量 は、積分がで収束するように導入した。 が正であることは、時間発展演算子の遅延境界条件の結果だ。

グリーン関数の行列要素を定義に戻ってﾉk

となる。 したがって、行列要素 は、 と の間のエネルギーを持った粒子が、 位置 からへ伝播する確率振幅をﾉkこれは、時刻に位置に粒子を置いたとき に 時刻に位置に粒子が見つかる確率振幅 から、振動数 で振動し ている 成分を取り出したものになっている。

ダイ･k

ハ･＜泣gニアンで票ン関数

がわかっているとき、任意の摂動を加えた系

のグリーン関数は ダイ･k

 

および、これをについて解いた式

 

を満たす。

このことは、つぎのように示される。

 

両辺にを掛ければ、ダイ･・A HREF="node1.html#eqdyson">19)が証明される。 以上の計算では、行列の積の逆行列に関する公式 を用いた。

Landauer-Bütikker 公式

コンダクタンス（電気抵抗の逆数）は、 Landauer-Bütikker 公式

によりグリーン関数を使ってﾉkここで、は電子の透過確 率だ。

このことは、つぎのように示される。距離だけ離れた左右 の電極のあいだに 電圧をかけたとしよう。このとき流れた電流が判れば コンダクタンスはで求められる。 電流は、断面を流れる単位時間当たりの電荷だから、

とﾉk

および、スピン縮退を考慮した状態密度

を用いた。

また、グリーン関数の行列要素が単位エネルギー当たりの遷移振幅を与える ことにより、透過振幅は

とﾉ扞MG ALIGN=BOTTOM ALT="" SRC="img82.gif">は、フェル･＜Gネルギーでの１格子当たりのエネルギー間隔だ。

再帰グリーン関数法

再帰グリーン関数法では、左側に無限に伸びる電極の既知のグリーン関数から 出発して、電極の右側に散乱ポテンシャルを含んだ格子をひとつずつ付け加えて ゆき、最後に右側に無限に伸びる電極とつないで鎖全体のグリーン関数を求める。

  
Figure: 電極のグリーン関数

まず、電極の中ではポテンシャルが一定なので、電極のエネルギー固有値、 波動関数が解析的に求まる。したがって、電極のグリーン関数は、 グリーン関数のスペクトルﾉk

 

を用いて求めることができる。 ここで、固有状態の完全性を用いた。 上の式が行列をﾉk

  
Figure: 再帰関係

番目の格子まで繋がった半直線のグリーン関数がわかっていると しよう。式(20)を用いれば、 番目の格子を付けた半直線のグリーン関数はつぎのように求めら れる。

 

ただし

ここで、番目の格子までの半直線のグリーン関数は左上に無限に のびた行列、番目の孤立した格子のグリーン関数はの行列

 

である。は番目の格子のポテンシャルだ。 また、として番目と番 目の格子を 結ぶ行列要素、を用いた。

  
Figure: 最後の再帰関係

最後に右側に無限に伸びる電極とつないで直線全体のグリーン関数を求めるには、 番目の格子まで繋がった半直線のグリーン関数と、 番目の孤立した格子のグリーン関数と、 番目の格子から右に無限に伸びる半直線のグリーン関数 を、式(20)を用いてつなぐ。 ただし、

とし、として番目と番 目の格子および番目と番目の格子を 結ぶ行列要素、などを用いた。

行列要素の再帰関係

前節で見たように、直線のグリーン関数全体を求めるには無限次元の行列の 逆行列を計算することが必要だ。この困難を回避するために、 コンダクタンスの計算に必要な２個の行列要素、 （透過確率用）と（反射確率用）、だけを計算しよう。 ただし、,は、それぞれ左右の電極上のひとつの格子だ。

この必要な行列要素だけを求めるために、再帰関係のダイ･k

 

の行列要素をとれば、

となる。これをについて解けば、 行列要素の再帰関係

 

を得る。同様にして、に関する再帰関係

 

も得られる。

つぎに、行列要素の最後の再帰関係を求めるために、ダイ･k

 

の行列要素をとれば、

となる。これをについて解けば、 行列要素の最後の再帰関係

 

を得る。同様にして、に関する再帰関係

 

も得られる。

二次元系の量子力学

以上の議論を二次元系の量子力学に拡張するには、垂Tの様に縦方向にも個の 格子をつなげて二次元の電極を作り、個の格子を縦に串ざしに したものを ひとつずつ電極に付けてゆけば良い。この場合、行列要素の再帰式(34),(35)(37)(38)は、 それぞれの行列でﾉk

  
Figure: ２次元系のグリーン関数の計算方法